3.1导数小题篇
考向1导数的运算
1．求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
如我们将分三步：
①将复合函数分解为基本初等函数；
②将对的导数记为，将对的导数记为；
③．
注意：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
4．八大同构函数
八大同构函数分别是：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．我们通过基本的求导来看看这八大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．
图1-2-1图1-2-2
①如图1-2-1，对于函数，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，且；
②如图1-2-2，对于，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，且；
反思关于图1-2-1和图1-2-2，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
图1-2-3图1-2-4
③如图1-2-3，对于函数，求导后可得：，在区间递增，在区间递减，；
④如图1-2-4，对于函数，求导后可得：，在区间递增，在区间递减，；
反思关于图1-2-3和图1-2-4，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
图1-2-5图1-2-6
⑤如图1-2-5，对于函数，求导后可得：当时，，在区间递减；
当时，，在区间递减，在区间递增，；
⑥如图1-2-6，对于函数，求导后可得：当时，，在区间递减；当时，，在区间递减，在区间递增，；
反思关于图1-2-5和图1-2-6，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
图1-2-7图1-2-8
⑦如图1-2-7，对于函数，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，；
⑧如图1-2-8，对于函数，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，；
反思关于图1-2-7和图1-2-8，仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
我们可以利用八大函数进行快速求解最值或单调区间
注意：改变单调区间的因素：、、；
改变最值的因素：、、；
题型1基本求导
【例1】下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【例2】若函数，则
A． B．
C． D．
【例3】已知函数（其中是的导函数），则（1）
A． B． C． D．
【例4】函数，其导函数记为，
A． B．3 C． D．2
【例5】已知函数，则
A． B． C． D．
题型2必备拓展知识
【例1】给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数（反之为凹函数）．以下四个函数在上不是凸函数的是
A． B．
C． D．
【例2】【多选】已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是
A． B． C． D．
【例3】给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，，则下列结论正确的为
A． B．点在直线上
C． D．点在直线上
【例4】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间，上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得（b）（a），其中称为函数在闭区间，上的“中值点”．请问函数在区间，上的“中值点”的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
考向2导数的切线问题
题型1在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为：，一定要抓住关键．
【例1】（2023?甲卷）曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【例2】（2019?新课标Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则
A．， B．， C．， D．，
【例3】（2024?甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
A． B． C． D．
题型2过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【例1】已知函数，若过点的直线与曲线