9.4调和点列与极点极线论
考向1单比与交比
一．单比的概念及性质
1.单比的定义
如果共线三点满足,则称为共线三点的单比，也可以表示为P分为。其中称为基点,称为分点。
对单比的概念我们需要理解以下几点:
=1\*GB2⑴单比的定义是有顺序的,共线三点的顺序不可随意调整，;
=2\*GB2⑵当位于线段之间时,，否则,当位于线段之外时，，为线段中点时；
=3\*GB2⑶如果为定点,也给定,则点的位置唯一确定;
=4\*GB2⑷在平面直角坐标系中,,由向量坐标运算,得出定比分点公式：
=5\*GB2⑸所谓共线三点的单比,即为定比分点中的定比。
最早出现定比分点高考题是在2006年山东高考卷，由于年代久远，所以我们就用同类型题来解读。
2.为定值的参数同构与点差法
当圆锥曲线上两点作为定比分点，线段两个端点分别位于焦点和另一条坐标轴上时，这里会涉及一个为定值的问题，我们介绍参数同构法，点差思想来处理．
【例1】已知焦点在轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是拋物线的焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且，
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:为定值.
【例2】已知椭圆的离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过定点的直线与椭圆相交于，两点，且与直线相交于点，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
二．单比与交比
1.单比角元形式
两条直线的有向角满足下面几个性质:
(1).如果直线逆时针旋转到直线,则为正角;如果直线顺时针旋转到直线,则为负角;
(2)..
如下图,分别连接共线三点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,若,则.
2、交比的概念及性质
点列的交比:如果共线四点满足,则称为共线四点的交比,记为。其中称为基点偶(对),称为分点偶(对)。
点列交比的角元形式：如下图,分别连接共线四点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,则
从交比的角元形式可以看出,交比的值只与直线的有向角有关系,与线段长度没有关系。于是我们很容易据此得到交比的射影不变性。
3.交比的射影不变性
交比的射影不变性：如图所示,过点引四条相交直线,分别与另外两条直线交于和,则
交比的射影不变性,是交比的角元形式的直接推论，交比的射影不变性表明，交比经中心射影后不变。
关于交比射影不变性的斜率公式，我们会在后面章节进行解读，交比射影不变性的推论，结合调和点列，基本上可以打通高考.
【例3】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，．对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）证明：；
（2）已知，点为线段的中点，，求．
【例4】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，．
（1）证明：；
（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：，；，，；，；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与△的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与△对应边的交点在一条直线上．
三．调和点列与定比点差
1．调和点列的概念
如下图①，点在线段上，则满足的点是唯一存在的．但是，如果将线段改为直线，此时，满足的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为，则，在此种情况下，我们称点、、、为调和点列，或者称点、调和分割点、．按照交比的调和比解释，就是
图①
图②
特别的，当时，即点为的中点，则为无穷远点．
2．调和点列的性质
如下图所示：对于线段的内分点和外分点满足、调和分割线段，即，设为线段的中点，则有以下结论成立：
①点、也调和分割、，即；
②（是与的调和平均数）．
【例5】(2011山东卷改编)设、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称，调和分割已知平面上的点，调和分割点，，则下面说法正确的是
A．、、、四点共线 B．可能是线段的中点
C．、可能同时在线段上 D．、不可能同时在线段的延长线上
3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线
在椭圆或双曲线中，设，为椭圆或双曲线上的两点，若存在，两点，满足，，则一定有：
证明若，且，则；若，则
，有，
（1）-（2）可得：
即得：，
故．
在抛物线中，设，为抛物线上的两点．若存在，两点，满足，，一定有．
证明若，，则，，则
，有
①—②得：
即，
所以，故．
定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥