第11章曲线积分与曲面积分
11.1第一型曲线积分
和
这是十九世纪为解决流体、
力、电
空间中曲面片上定义的函数
即格林公式、
斯托克斯公式
11.1.1第一型曲线积分的概念
首先考察
为简单起见,
非均匀密度的曲线状物体质量的计算问题.
如图所示,
求L的质量m.
这n-1个分点把曲线L分成
的质量Δmi可用μ(ξi,ηi)Δsi来近似代替,
即
就应该是曲线状物体L的质量,
或分段光滑曲线.
并将曲线L的端点A、B分别记为A0、An.
弧长为Δsi,
作和式
若当分点无限增加且‖Δs‖→0时,
由定义,
二元函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分是一个和式极限,
上文所述密度为μ(x,y)的曲线状物体L的质量即为
即
于是,
第一型曲线积分也有与定积分相类似的性质.
例如
∫L[f(x,y)+g(x,y)]ds
(1)
其中k为常数;
(2)
∫Lf(x,y)ds的几何意义:
且f(x,y)≥0.
设f(x,y)为连续函数,
在以坐标面Oxy上的平面曲线L为准线、
由微元法,
以此小弧段为准线
的曲顶柱面(图中阴影部分)的面积为
ΔA≈f(x,y)Δs,
在曲顶柱面A的准线L上点(x,y)处任取
从而上述曲顶柱面的面积微元为
于是,
当f(x,y)≥0时,
f(x,y)在曲线L上的第一型
类似地,
可以定义三元函数f(x,y,z)沿空间曲线L的第一型曲线积分
∫Lf(x,y,z)ds
曲线积分∫Lf(x,y)ds
设函数f(x,y)为定义在平面光滑曲线L上的连续函数,
第一型曲线积分可以化为定积分来计算.
若L的参数方程为
11.1.2第一型曲线积分的计算
∫Lf(x,y)ds
∫Lf(x,y)ds
则
对空间曲线也有类似的结果.
若L的参数方程为
则有
∫Lf(x,y,z)ds
注意
设函数f(x,y,z)为定义在空间光滑曲线L上的连续函数,
因为弧长的微分ds总是正值,
所以④⑤⑥⑦诸式的积分下限都必须
小于积分上限.
例11-1-1
其中L为如图所示的右半单位圆周.
计算∫L|y|ds,
解
L的参数方程为
因此
∫L|y|ds
=dt,
例11-1-2
其中L为以O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)为顶点的三角形边界.
计算∫L(x+y)ds,
解
如图所示,
L由AB、BO、OA三条线段连接而成,
∫L(x+y)ds
+∫BO(x+y)ds
由于线段AB、BO、OA的表示式分别为
+∫OA(x+y)ds.
=∫AB(x+y)ds
y=0,
∫AB(x+y)ds
∫BO(x+y)ds
因此由公式⑤⑥分别得到
∫OA(x+y)ds
从而求得
例11-1-3
计算∫L(x2+y2+z2)ds,
解
由于
ds
∫L(x2+y2+z2)ds
因此按公式⑦得到
例11-1-4
被圆柱面x2+z2=a2
求圆柱面x2+y2=a2
解
所截得的部分的面积A.
由被截柱面的对称性可知
设在坐标面Oxy上的圆
x2+y2=a2
则被截的柱面在第一卦限的部分
由第一型曲线积分的几何意义知
母线平行于z轴、
A
以及ds=adt,
=8a2.
本节的重点是第一型曲线积分的定义和计算,
在学习时应注意以下两点:
与定积分和重积分一样,
第一型曲线积分也是通过“分割、近似、求和、
(1)
所不同的是
定积分和重积分是分别定义在闭区间
它们有类似的定义,
因此也有类似的性质和应用.
而第一型曲线积分则是定义在平面曲线
或空间曲线上的积分.
取极限”的方法来定义的,
和平面区域、空间区域上的积分,
在把第一型曲线积分化为定积分计算时,
必须注意定积分的积分上限
(2)
必须大于积分下限.