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第二章插值法
教学目的1.掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项
表达式的证明；2.理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；
3.了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；4.掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；5.了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。
教学重点及难点重点是1.拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明；
2.牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3.埃尔米特插值多项式的构造、余项及余
项表达式的证明；难点是1.拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明；
2.埃尔米特插值多项式的构造及余项表达式的证明。
教学时数14学时
教学过程
§1引言
数学问题已知的一张函数表
s
（1.1）
其中，，当，且值比较准确，为包的区间或有表达式的函数（但比较复杂）。寻求一个次数的多项式使满足：
解决思路寻求一个简单且便于计算的函数来近似，即当，一般可选为多项式，三角多项式，有理函数或样条函数等。
次数小于、等于的多项式集合
1.定义1（1）如果满足插值条件（1.2）的多项式存在，称为的插值多项式，称为插值节点，称为被插函数（如图2-1）
(2)求插值多项的方法称为插值法。
(3)当称为分段多项式时，称为分段插值函数。称为插值区间。
研究问题：（1）满足插值条件（1.2）的多项式是否存在，唯一。
（2）如果满足插值条件（1.2）的存在，又如何构造。
（3）ET近似值代替的误差估计。
2.插值多项式的存在唯一性
寻求多项式
个待定系数，即寻求使满足
（1.3）
这是一个有个未知数和个方程的线性方程组，于是插值多项式是否存在和唯一问题，就是方程组（1.3）解是否存在和唯一的问题。下面说明（1.3）解存在且唯一。
事实上，方程组（1.3）系数阵的行列式为
即是阶Vandermonde行列式，且有
故方程组(1.3)有唯一解，从而得到下述结论。
定理1（插直多项式存在唯一性）
设已知的函数表当为包含年有
区间）则存在唯一多项式使。
当且，（）时，称插值多项式的余项。显然，定理1的结论和节点次序无关。
§2拉格朗日插值多项式
通过解方程组（1.3）求插值多项式系数，不但计算工作量较大，且难于得到简单表达式。下面通过找插值基函数的方法，可得到插值多项式简单表达形式。
2．1插值基函数
考查一个简单的插值问题，设已知的函数表为
（2.1）
寻求次数多项式便满足条件：
（2.2）
显然，为零点，于是
其中，为待定系数，可由条件：
（2.2）
显然为零点，于是
其中，为待定系数，可由条件确定，于是得到（2.1）插值多项式
（2.3）
定义2称次多项式为节点上的次插值基函数。
2．2拉格朗日（Lagrange）插值多项式
已知函数表，寻求使满足插值条件：
。
显然，满足插值条件的次多项式为
插值多项式，又称为（Lagrange）插值多项式。
定理2（Lagrange插值多项式）
设函数表为则满足插值条件插值多项式为
（2.4）
其中
线性插值：已知函数表
（即）
由定理2满足插值条件一次多项式为（如图示2-2）：
（2.5）
于是，当（当比较小时）
由定理2满足插值条件的二次插值多项式为（如图2-3）：
=
（2.6）
从几何上看就是用通过三点抛物线近似代替，即，当
线性插值和抛物线插值是工程上常用的插值方法。
引进记号：
显然，
于是，拉格朗日插值多项式可写为：
（2.7）
2.3插值的多项式的任项
在上用插值多项式近似，其误差为
下面给出插值余项的估计。
定理3（插值多项式余项）
（1）设已知函数表，，，当
为满足插值条件的次插值多项式。
（2）设在上连续，在内存在，则对任何插值多项式余项为
（2.8）
其中且依赖于。
证明设为任一固定点，如果有