格的直积吸收律 a1,b1∩(a1,b1∪a2,b2) ＝a1,b1∩a1∨a2,b1∨b2 ＝a1∧(a1∨a2),b1∧(b1∨b2) ＝a1,b1同理有 ?????a1,b1∪(a1,b1∩a2,b2)＝a1,b1这就证明了∩和∪运算满足吸收律。从而证明L1×L2仍是格第30页，共81页，星期日，2025年，2月5日格的直积举例格L＝{0,1},≤，≤为通常的小于或等于关系。则 L×L＝{0,0，0,1，1,0，1,1}，其中0,0是最小元，1,1是最大元，且 0,0≤0,1≤1,1， 0,0≤1,0≤1,1，而0,1与1,0是不可比的。易见L×L与图13.4的L1同构。第31页，共81页，星期日，2025年，2月5日本节小结格L的非空子集S构成L的子格的条件： S对L的两个运算封闭。?函数?构成格同态的条件： ?(a∧b)＝?(a)∧?(b) ?(a∨b)＝?(a)∨?(b)格同态的保序性。第32页，共81页，星期日，2025年，2月5日13.3分配格与有补格一般说来，格中运算∨对∧满足分配不等式， 即?a,b,c∈L，有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 但是不一定满足分配律。满足分配律的格称为分配格。定义13.7设L,∧,∨是格，若?a,b,c∈L，有 a∧(b∨c)＝(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)＝(a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格。说明 上面两个等式互为对偶式。 在证明L为分配格时，只须证明其中的一个等式即可。第33页，共81页，星期日，2025年，2月5日例13.8L1和L2是分配格，L3和L4不是分配格。在L3中， b∧(c∨d)＝b∧e＝b(b∧c)∨(b∧d)＝a∨a＝a在L4中, c∨(b∧d)＝c∨a＝c(c∨b)∧(c∨d)＝e∧d＝d钻石格五角格第34页，共81页，星期日，2025年，2月5日分配格的判别定理13.6设L是格，则L是分配格当且仅当L中不含有与钻石格或五角格同构的子格。证明 略。推论 (1)小于五元的格都是分配格。 (2)任何一条链都是分配格。第35页，共81页，星期日，2025年，2月5日例13.9说明下图中的格是否为分配格，为什么？L1,L2和L3都不是分配格。{a,b,c,d,e}是L1的子格，并且同构于钻石格。{a,b,c,e,f}是L2的子格，并且同构于五角格。{a,c,b,e,f}是L3的子格，也同构于钻石格。第36页，共81页，星期日，2025年，2月5日定理13.7定理13.7格L是分配格当且仅当 ?a,b,c∈L，a∧b＝a∧c且a∨b＝a∨c?b＝c。证明 必要性。?a,b,c∈L，有 b＝b∨(a∧b) (吸收律,交换律) ＝b∨(a∧c) (已知条件代入) ＝(b∨a)∧(b∨c) (分配律) ＝(a∨c)∧(b∨c) (已知条件代入,交换律) ＝(a∧b)∨c (分配律) ＝(a∧c)∨c (已知条件代入) ＝c (交换律,吸收律)第37页，共81页，星期日，2025年，2月5日定理13.7充分性。假若?a,b,c∈L，有 a∧b＝a∧c且a∨b＝a∨c?b＝c 成立，而L不是分配格。 根据定理13.6，L中必含有与钻石格或五角格同构的子格。 假设L中含有与钻石格同构的子格，且该子格为{u,v,x,y,z}，其中u为它的最小元，v为它的最大元。从而推出 x∧y＝x∧z＝u，x∨y＝x∨z＝v但y≠z，与已知矛盾。对五角格的情况同理可证。vuxzy第38页，共81页，星期日，2025年，2月5日定理13.7的应用使用定理13.7也可以判别一个格是否为分配格。例如下图中的三个格都不是分配格。在L1中有b∨c＝b∨d，b∧c＝b∧d，但c≠d。在L2中有b∧c＝b∧e，b∨c＝b∨e，但c≠e。在L3中有c∧b＝c∧d，c∨b＝c∨d，但b≠d。第39页，共81页，星期日，2025年，2月5日格的全下界和全上界定义13.8设L是格， 若存在a∈L使得?x∈L有a≤x，则称a为L的全下界； 若存在b∈L使得?x∈L有x≤b，则称b为L的全上界。命题 格L若存在全下界或全上界，一定是唯一的。证明 以全下界为例，假若a1和a2都是格L的全下界, 则有a1≤a2和a2≤a1。 根据偏序关系的反对称性必有a1＝a2。记法 将格L的全下界记为0，全上界记为1。第40页，