*七.幂的性质：当关系图有回路时：(2)(3)第30页，共80页，星期日，2025年，2月5日*证明（2）：用数学归纳法若n=0,则有
Rm○R0=Rm○IA=Rm=Rm+0假设Rm○Rn=Rm+n,则有
Rm○Rn+1=Rm○(Rn○R)=(Rm○Rn)○R=Rm+n+1。幂运算的性质（续）证明（3）：若n=0,则有假设则有课后习题：4.2，4.3，4.13第31页，共80页，星期日，2025年，2月5日第32页，共80页，星期日，2025年，2月5日第33页，共80页，星期日，2025年，2月5日第34页，共80页，星期日，2025年，2月5日§4.3关系的性质R的关系矩阵：主对角线元素全是1R的关系图：每个顶点都有环自反性：?x?A有x,x?R(R是A上的关系)关系矩阵：主对角线元素全是0关系图：每个顶点都没有环反自反性：?x?Ax,x?R第35页，共80页，星期日，2025年，2月5日例1：A={1,2,3},R1={1,1,2,2}R2={1,1,2,2,3,3}R3={1,1,2,2,3,3,2,3}R4={1,1,1,2,2,3}R5={1,2,2,3}既不是自反的也不是非自反的自反的自反的既不是自反的也不是非自反的反自反的例1：是自反的一定不是反自反的；是反自反的一定不是自反的！在自反性方面R有3种可能：自反的；反自反的；既非自反又非反自反的第36页，共80页，星期日，2025年，2月5日对称性：若x,y?R，则y,x?R关系矩阵：对称阵(aij=aji)关系图：如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边。反对称性：若x,y?R且x?y，则y,x?R关系矩阵：如果rij=1，且i?j，则rji=0关系图：如果两个顶点之间有边，一定是只有一条有向边。！R={x,x|x?R}既是对称关系又是反对称关系第37页，共80页，星期日，2025年，2月5日例2：A={1,2,3},R1={1,1,2,2,3,3,2,1}R2={1,1,2,2,3,3}R3={1,1,1,2,2,1}R4={1,1,1,2,3,1}R5={1,2,2,1,3,1}反对称的既对称又反对称的对称的反对称的既非对称又非反对称的！在对称性方面R有4种可能：对称的；反对称的；既对称又反对称的；既非对称又非反对称的第38页，共80页，星期日，2025年，2月5日传递性：若x,y?R且y,z?R，则x,z?R关系图：如果顶点xi到xj有边，xj到xk有边，则从xi到xk有边！若a可经过两条或两条以上的线到达b，则a,b?R第39页，共80页，星期日，2025年，2月5日例3：A={1,2,3,4},R1={1,1,2,2,3,3}R2={1,2,3,4}R3={1,1,1,2,2,1}R4={1,2,2,3,1,3,2,2}R5={1,2,2,1,3,1,1,3,3,3}传递的传递的非传递的传递的非传递的！在传递性方面，R有两种可能：传递的；非传递的。第40页，共80页，星期日，2025年，2月5日练习：自反的对称的反对称的传递的自反的对称的传递的反自反的反对称的反对称的传递的课后习题：4.4，4.12根据关系图判断关系的综合性质：第41页，共80页，星期日，2025年，2月5日§4.4关系的闭包运算闭包：设R?A?A，自反闭包记作r(R)对称闭包记作s(R)传递闭包记作t(R)那么，包含R而使之具有自反性质的最小关系，称之为R的自反闭包；包含R而使之具有传递性质的最小关系，称之为R的传递闭包。一、定义包含R而使之具有对称性质的最小关系，称之为R的对称闭包。第42页，共80页，星期日，2025年，2月5日幂运算：设R?A?A，k?N，约定(1)R0=IA={x,x|x?A}(2)R1=R(3)Rk+1=Rk?R二、计算方法为了有效地计算关系R的各种闭包，先引进关系的幂运算概念。第43页，共80页，星期