第4节两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
知识点一．两点分布
1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为
0
1
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
（2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
知识点二．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
…
…
…
…
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
0
1
…
…
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
知识点四、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：
甲乙
知识点五、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
【解题方法总结】
1、超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
3、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
4、假设检验的思想
（1）统计中