数列第3节等比数列
考向一等比数列的概念及通项公式
知识点一等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：(且)（，）.
知识点二等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数同号，即时，实数存在等比中项．对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
②是、、成等比数列的必要不充分条件.
知识点三等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则(n∈N*)．
知识点四从函数观点看等比数列——等比数列与指数函数
1.等比数列的图象
对于等比数列，通项公式．当且时，它们都是一个非零常数c(c＝eq\f(a1,q))与指数函数y＝qx的乘积：y＝cqx.
由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成如下图等比数列的图象．
当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
2.等比数列的单调性
（1）已知等比数列的首项为，公比为，则
①当或时，是递增数列；②当或时，是递减数列；
③当时，为常数列．
（2）对于等比数列{an}，借助函数y＝cqn的性质，可分析等比数列{an}的增减性如下表．
a1
a10
a10
q的范围
0q1
q＝1
q1
0q1
q＝1
q1
数列{an}的增减性
递减数列
常数列
递增数列
递增数列
常数列
递减数列
（3）等比数列{an}，当公比q0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图)
注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
知识点五等比数列通项公式的推广和变形
1.通项公式变形
等比数列{an}的公比为q，则
①，可用来由等比数列任两项求公比.
②，可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求a1.
证明：∵，，∴，∴.
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况.
③，已知首项，末项，公比即可计算出项数.
2.基本量法
（1）等比数列可以由首项a1和公比确定，我们把a1和称为基本量，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和进行.在基本量法中，不拘泥于，有可以直接用.
解题时没有思路了，可以回归基本量法.
（2）求等比数列的通项公式的两种思路：
①设出基本量、，利用条件构建方程组，通过两式相除法或者代入消元法求出，，即可写出等比数列的通项公式；
②已知等比数列中的两项时，则可不必求而直接写出等比数列的通项公式．
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等比数列可设为：，，或，，；
（ii）四个数成等比数列可设为：，，，或，，，.
【例1】(2022?乙卷理)已知等比数列的前3项和为168，，则()
A．14 B．12 C．6 D．3
【例2】（2020?新课标Ⅰ文）设是等比数列，且，，则（）
A．12 B．24 C．30 D．32
【例3】（2019?全国III卷理）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且
，则（）
A．16 B．8 C．4 D．2
考向二等比数列的常用性质
一、由等比数列生成新的等比数列
若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：
1.数列仍是公比为的等比数列；
2.数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列；
3.若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；
4．在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
二、等差数列与等比数列的联系
1.若数列是公差为的等差数列，则数列（且）是公比为的等比数列．
2.若数列是公比为等比数列，则数列（且）公差为的等差数列．
3.如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
三、项的性质
1.对称性：若，则；若，则．
推广：①若，则．②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项的积：．
2.若成等差数列，则成等比数列．
3.等比性质：．
例如：①；②；③；．
【例1】已知{an}为正项等比数列，若lga2，