第03讲空间向量基本定理

模块一思维导图串知识1．类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2．掌握判断空间三个向量能否构成基底的方法；

模块三核心考点举一反三3．能通过空间向量的线性运算用基底表示向量.

模块四小试牛刀过关测

知识点1空间向量基本定理

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a，b，cp

1、定理内容：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，

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使pxa?yb?zc.

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2、基底与基向量：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是

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?ppxa?yb?zc,x,y,z?R?，这个集合可以看作由向量a，b，c生成的，我们把?a，b，c?叫做空间的

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一个基底，a，b，c都叫做基向量。

【注意】（1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念；

（2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；

3、判断基底的基本思路及方法

（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底；

（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，

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则不能构成基底；②假设a?b??c（?,??R），运用空间向量基本定理，建立?,?的方程组，若有

解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。

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4、用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合

相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；

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（3）下结论：利用空间向量的一个基底?a，b，c?可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含

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有a，b，c，不能含有其他形式的向量。

知识点2空间向量的正交分解

1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当

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一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用?i，j，k?表示。

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2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量xi?yj?zk，

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使axi?yj?zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

考点一：三个向量构成基底的判断