第02讲空间向量的数量积运算

模块一思维导图串知识1．了解空间向量的夹角；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律

模块三核心考点举一反三及计算方法；

模块四小试牛刀过关测3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义；

4．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，

掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.

知识点1空间向量的夹角

??????????????

1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的

abOAaOBbab

??

夹角，记作a,b，如下图。

2、夹角的范围：

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

??????

通常我们规定：0?a,b??，且a,bb,a

????

（1）当、共线且同向时，；

aba,b0

????

（2）当、共线且反向时，；

aba,b?

???????

（3）当当、垂直时，即时，．

aba?ba,b

2

3、求两个向量的夹角有两种方法：

方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；

??

????a?b????

（2）先求a?b，再利用公式cosa,b??求cosa,b，最后确定a,b．

a?b

方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；

②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．

知识点2空间向量的数量积