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广东省广东仲元中学、深圳龙城高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列则（）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（????）
A．在处取得最大值
B．在区间上单调递减
C．在处取得极大值
D．在区间上有2个极大值点
3．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（???）种.
A．18 B．24 C．27 D．64
4．在的展开式中，含的项的系数是（????）
A．74 B．121 C． D．
5．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（????）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
6．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（???）种不同上法．
A． B． C． D．
7．已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（???）
A． B． C． D．
8．已知函数，，，，则的大小关系是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（???）
A．若、、成等差数列，则、、成等差数列
B．若、、成等差数列，则、、成等比数列
C．若、、成等比数列，则、、成等差数列
D．若、、成等比数列，则、、成等比数列
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（???）
A． B．双曲线C的离心率为2
C．直线倾斜角的取值范围为 D．若，则三角形的面积为2
11．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（????）
A．若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B．若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C．若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D．若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题
12．若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为．
13．已知数列的前项和为，若，则.
14．若存在实数使得，则实数的取值范围为.
四、解答题
15．已知函数的图象过点，且．
(1)求函数在点处的切线方程
(2)求函数在上的值域．
16．如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正切值．
17．已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
18．已知函数且．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，证明：．
19．角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
(1)若，求数列的项数；
(2)若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
(3)对任意的数列，求证：．
答案第=