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河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知，则（????）
A．1 B．2 C． D．
3．已知，则（????）
A． B． C． D．
4．已知对任意的，不等式恒成立，则实数（????）
A．0 B．1 C． D．-1
5．已知曲线的一条切线的方程为，则实数（????）
A．0 B．1 C．-1 D．
6．如图，在四棱锥中，平面，则四棱锥外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
7．已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（????）
A． B． C． D．
8．如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（????）
A．
B．
C．是实数
D．在复平面上对应的点在第二象限
10．已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（????）
A．
B．
C．直线和直线的斜率的乘积为
D．
11．若函数满足：①定义域为；②；③对，；④不恒等于0，则下列说法一定正确的有（????）
A．
B．
C．为奇函数
D．在上，单调递增
三、填空题
12．已知数列的通项公式为，则从该数列的前10项中随机取出不同的两项，和为奇数的概率为.
13．如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为.
??
14．已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为.
四、解答题
15．如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且.
(1)求；
(2)若的内切圆的半径为，求的周长.
16．在直三棱柱中，.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
17．已知函数，且有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
18．过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，且.
(1)求；
(2)已知的半径为2，证明：对于抛物线上的动点，且，总存在抛物线上的另外两点，使为的内切圆.
19．已知数列和常数存在以下关系：对，当时，，则称为的极限，若数列的极限是，则称数列为“超极限数列”.已知数列满足.
(1)写出的前5项；
(2)证明：为“超极限数列”；
(3)若，从中任取一项，求该项能被9整除的概率.
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《河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
B
B
D
C
C
ABC
ABD
题号
11
答案
AC
1．B
【分析】求出，再求出.
【详解】易得，故.
故选：B.
2．D
【分析】利用数量积可求.
【详解】，
故.
故选:D.
3．A
【分析】由已知及二倍角正弦公式可得，即可求角的大小.
【详解】由题设，故，
又，故，故，解得，故.
故选：A
4．B
【分析】分、和分别求解即可.
【详解】解：当时，，
则对于任意的恒成立，
时，，
故，
故，即;
时，，故，
故，即，
综上.
验证时，符合题意.
故选:B.
5．B
【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值.
【详解】与的图象相切，设切点为，
则，故，
由，即，将代入上式，得，故.
故选：B.
6．D
【分析】方法一、根据题意可确定四棱锥外接球球心在中点处，然后求的半径即可；方法二、根据球心在底面外接圆圆心的垂线上，又的垂直平分线上，然后利用那个正弦定理求出底面外接圆半径，根据勾股定理即可求得半径并计算表面积.
【详解】方法一、连接，设的中点为，
因为平面，平面，所以，，
因为，所以平面，所以平面，故，同理，，又，
所以均以为斜边的直角三角形，
，
故为的外接球的球心，为外接球的直径，
由，得，
又为四边形外接圆的直径：，
设四棱锥的外接球的半径为，
则，解得.
故四棱锥外接球的表面积为.
方法二、连接，设的中点为，过作直线平面，
，是的公共斜边，
即是四边形的外接圆圆心，
所以直线上的点