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吉林省长春市第六中学2024-2025学年高二下学期第一学程考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列{an}中，若则（??????）
A．60 B．57 C．30 D．27
2．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（????）
??
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
3．已知函数的导函数是，若，则（????）
A． B．0 C． D．
4．曲线上的点到直线y＝x＋3的最短距离是（????）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，数列的前项和为，则的值为（?????）
A． B． C． D．
6．函数的极值点的个数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．若则（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．满足不等式的的值可为（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（????）．
A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
11．定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；???
②；
③函数在处取极大值；?????
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是．
13．若直线是曲线与曲线的公切线，则．
14．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是.
四、解答题
15．7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名女同学必须相邻而站；
（2）4名男同学互不相邻；
（3）若4名男同学身高都不相等，按从高到低或从低到高的顺序站；
（4）老师不站正中间，女同学不站两端.
16．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
17．已知数列的前项和，其中.
（1）求数列的通项公式.
（2）若数列满足，.
证明：①数列为等差数列.
②求数列的前项和.
18．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
19．定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“M函数”.
(1)若为“M函数”，求m的取值范围.
(2)已知函数有两个极值点.
①求a的取值范围；
②证明：为“M函数”.
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《吉林省长春市第六中学2024-2025学年高二下学期第一学程考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
B
C
A
A
AB
AC
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】根据数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
则，
.
故选：D.
2．C
【分析】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有种涂法.
故选：C.
3．A
【分析】根据求导公式求出，可计算，由此确定解析式，进而求值.
【详解】由得，
所以，
所以，
所以，故.
故选：A
4．A
【分析】曲线上的点到直线y＝x＋3的最短j距离即把直线y＝x＋3平移至与曲线相切时切点到到直线的距离，可求的切点坐标，代入点到直线距离公式计算．
【详解】，则
曲线上的点到直线y＝x＋3的最短距离即把直线y＝x＋3平移至与曲线相切时切点到到直线的距离
，则
此时切点坐标，则到直线y＝x＋3的距离
故选：A．
5．B
【分析】利用导数的几何意义可求出的值，再利用裂项求和法可求得的值.
【详解】因为，则，由导数的几何意义可得，解得，
所以，故，
因此，.
故选：B.
6．C
【分析】先求导函数，再数形结合得出导函数有两个零点，左右正负有变化即可得出极值点个数.
【详解】由题意得，令，得，令，在同一坐标系内