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山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，且，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部是（????）
A．1 B． C． D．
3．某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（????）（参考公式：，，
A． B． C． D．
4．若向量在向量上的投影向量为，且，则（????）
A． B． C． D．
5．二项式的展开式中，常数项为（????）
A．24 B．6 C． D．
6．已知函数，其导函数记为，则（????）
A． B．0 C．1 D．2
7．已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（????）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（????）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知函数的图象如图所示，，为曲线与轴的交点，的面积为1，则（????）
A． B．
C． D．
10．已知某型号书立为一张圆角矩形铁片沿曲线切割后翻折制成，其中，折线，，，为矩形，为半圆，翻折后，平面，则（????）
A．该圆角矩形铁皮可选用面积为的铁皮原料
B．切割的图形绕旋转所形成的旋转体不能看成一个圆柱体和一个球体拼接成的简单组合体
C．在中任取3个点组成一个直角三角形的概率是
D．将书立放倒（即触底）包装，可设计出比体积更小的长方体包装盒
11．已知曲线是平面内到定点与到定直线距离之和等于6的点的轨迹．点是曲线上一点，则（????）
A．曲线是中心对称图形
B．
C．曲线围成的面积大于
D．曲线任意一点到原点的距离不小于
三、填空题
12．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为.
13．已知两个正四棱锥组合成的简单几何体中，顶点，分别位于平面的两侧．其中正方形的边长为2，两个正四棱锥的侧棱长均为3．则四棱锥的外接球的表面积为．
14．已知的内角，，所对的边分别为，，，其中，，，则能覆盖的正方形的最小边长为．
四、解答题
15．已知函数．
(1)若是曲线的切线，求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
16．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式和“联网搜索”模式，用户可根据需求在提问时自由选择．据统计，人们在使用该大模型时，有的问题选择“深度思考”模式，的问题选择“联网搜索”模式．而在选择“深度思考”模式的问题中被检测到包含“科幻”关键词（S），在选择“联网搜索”模式的问题中被检测到包含“科幻”关键词（S）．以下记录了5次该大模型回答用户问题的处理时间（单位：分钟）、问题字数（单位：百字）和需求模式的相关数据：
问题
字数（百字）
需求模式
处理时间（分钟）
1
2.0
深度思考
5.0
2
1.5
联网搜索
3.0
3
3.0
深度思考
7.0
4
2.5
联网搜索
4.5
5
4.0
深度思考
8.4
(1)用频率估计概率．
①求问题被检测到包含“科幻”关键词的概率；
②当问题被检测到包含“科幻”关键词（S）时，求用户选择“深度思考”模式的概率；
(2)假设在“深度思考”模式下，处理时间关于字数呈线性相关．请预测“深度思考”模式下，处理一个350字用户问题的时间．
（参考公式，）
17．如图，在扇形中，，点在上，且．当时，．
(1)证明：为等边三角形；
(2)当时，沿将折起到位置，使得平面平面，连接．
①求三棱锥的体积；
②求二面角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率是，，分别是的上、下顶点，且．
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于，两点（，异于点，），若直线与的斜率分别为，，且，证明：直线过定点；
(3)点在上且位于轴左侧，点在直线上，为的右焦点，若，且，求的面积．
19．全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
(1)若．
①若，，求；
②若为偶数，证明：；
(2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．
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《山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试