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湖北省六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，那么（???）
A． B． C． D．
2．已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（???）
A． B． C． D．
3．已知向量，，则下列结论正确的是（???）
A． B． C． D．
4．一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（???）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若，且为第三象限角，则（???）
A．7 B． C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（???）
A．， B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增
7．定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（???）
A．该运算满足交换律，即
B．若向量，共线，则
C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积
D．对任意向量，有
8．当时，曲线与的交点个数为（???）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．下列命题正确的有（???）
A．函数的对称中心是，
B．在中，
C．，，则在上的投影向量等于
D．两个非零向量，的夹角是锐角
10．计算下列各式的值，结果为2的有（???）
A． B．
C． D．
11．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（???）
A．当点在线段上移动时，
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点有两个
D．最大值为3
三、填空题
12．已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为.
13．在中，，，则角为.
14．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为.
四、解答题
15．已知向量，满足：，，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值.
16．已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为.
(1)求函数的解析式及的解集；
(2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长.
17．如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
18．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知试证明此三倍角公式；
(2)若角满足，求的值（已知）；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
19．已知函数.
(1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
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《湖北省六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
C
A
B
D
C
BC
AC
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
2．D
【分析】根据单位向量的定义求与向量方向相反的单位向量.
【详解】由题设，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D
3．C
【分析】根据向量共线定理、数量积及模长的坐标运算依次判断各项的正误.
【详解】A：由题设，不存在实数，使，故不共线，错；
B：由，错；
C：因为，
所以，即，对；
D：，错.
故选：C
4．C
【分析】作出示意图，在中，得，可由三角函数求的长，进而得到答案.
【详解】由题意知，在中，，，
，
所以为直角三角形，又，
，故（小时），
故选：C.
5．A
【分析】逆用和角余弦公式可得，结合已知得，再由和角正切公式求.
【详解】由，