2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷：数论与几何证明思维拓展与练习

一、数论

要求：解答下列数论问题，要求准确无误。

1.已知正整数\(n\)满足\(n^2-2n-3=0\)，求\(n\)的值。

2.设\(a\)和\(b\)是互质的正整数，且\(a^2+b^2=100\)，求\(a\)和\(b\)的值。

3.证明：对于任意正整数\(n\)，\(2^n-1\)是奇数。

4.设\(p\)是质数，\(a\)和\(b\)是正整数，且\(p\)不整除\(ab\)，证明：\(p\)不整除\(a\)和\(