2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何综合证明）竞赛备考资料精选

一、数论

1.设正整数n是3的倍数，且n除以5的余数为3，证明存在一个整数m，使得n=5m+3。

2.设p是奇素数，且p3，证明在1到p-1的整数中，至少存在一个整数a，使得a^2除以p的余数为1。

二、几何

1.在直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，点C(x,y)在直线y=x上，且三角形ABC的面积最小。求x和y的值。

2.在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且AD=DE=EB。求证：三角形ADE和三角形BEC的面积相等。

三、数论与几何综合证明

1.设m和n是两个正整数，且