2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何综合证明）立体几何证明

一、数论

1.设\(p\)是一个质数，且\(p\equiv1\pmod{6}\)。证明：存在整数\(x\)和\(y\)，使得\(x^2+y^2=p\)。

2.设\(a\)和\(b\)是两个正整数，且\(a\equivb\pmod{8}\)。证明：\(a^2\equivb^2\pmod{8}\)。

3.设\(p\)是一个质数，且\(p\equiv3\pmod{4}\)。证明：\(p\)不能被表示为两个奇数的和。

4.设\(n\)是