2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何综合证明）——竞赛数学数论解题技巧讲解

一、数论基础

要求：证明以下数论基本定理，并给出证明过程。

1.证明：对于任意正整数\(n\)，\(n^2\equiv0\pmod{4}\)当且仅当\(n\)为偶数。

2.证明：若\(a\)和\(b\)互质，则\(a^n\)和\(b^n\)也互质。

3.证明：若\(a\)和\(b\)互质，则存在整数\(x\)和\(y\)，使得\(ax+by=1\)。

4.证明：若\(p\)是质数，\(a\)是正整数，则\(a^p\equi