2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何综合证明）——竞赛数学几何与数论问题解题技巧

一、数论

要求：解决以下数论问题，展示解题过程。

1.设正整数n满足n^2+2n+1能被7整除，求n的最小值。

2.已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，证明a、b、c中至少有一个能被3整除。

3.设正整数n≥2，证明对于任意正整数k，都有2^n(k+1)^2。

4.设正整数n，证明n^2+n+41不能被3整除。

5.设正整数n，证明对于任意正整数k，都有n^2+2n+k能被3整除。

二、几何

要求：解决以下几何问题，展示解题过程。

1.在