2025年英国数学竞赛（BMO）数论难题与几何证明技巧模拟试卷

一、数论

要求：解决下列数论问题，展示出你的数论知识和解决问题的能力。

1.已知正整数\(n\)，证明：对于任意整数\(k\)，若\(k^2-2k+1\)是\(n\)的倍数，则\(k\)也是\(n\)的倍数。

2.设\(p\)和\(q\)是两个不同的质数，证明：存在无限多个整数\(n\)，使得\(n^2+2n+1\)是\(p\)和\(q\)的乘积。

3.已知\(a\)和\(b\)是正整数，且\(a\neqb\)，证明：存在无限多个整数\(n\