2025年英国数学竞赛（BMO）模拟试卷（数论与几何综合证明）——数论与几何证明技巧解析

一、数论基础

要求：运用数论的基本概念和性质，解决以下问题。

1.设整数\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2+b^2=c^2\)，且\(a\)、\(b\)、\(c\)互质，证明\(a\)、\(b\)、\(c\)中至少有一个是奇数。

2.设\(p\)为质数，\(n\)为正整数。证明：若\(p\)整除\(n^2-1\)，则\(p\)也整除\(n+1\)或\(n-1\)。

3.设\(p\)为质数，\(a\)、\(b\)为整数。证明：若\(p\)整除\(a^2+b^2\)