2025年英国数学竞赛BMO模拟试卷（数论难题解析与几何证明方法）

一、数论难题解析

要求：解答以下数论问题，展示解题过程。

1.设整数\(a,b,c\)满足\(a^2+b^2=3c^2\)，证明：若\(a,b,c\)都是奇数，则\(c\)也是奇数。

2.设\(p\)为质数，\(p\neq2\)，证明：存在整数\(x,y\)，使得\(x^2+y^2=p\)。

3.设\(n\)为正整数，证明：若\(n\)是合数，则\(n\)必有一个因子不大于\(\sqrt{n}\)。

4.设\(p\)为素数，\(p3\)，证明：\(p\)不可能表示为三个奇素数的和。

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