2025年英国数学竞赛BMO模拟试卷（数论问题解决与几何证明创新）

一、数论问题解决

要求：运用数论知识解决以下问题。

1.设正整数\(n\)满足\(n^2-7n+12=0\)，求\(n\)的所有正因数之和。

2.证明：对于任意正整数\(k\)，方程\(x^2-kx+k^2=0\)的根都是整数。

3.设\(p\)是奇素数，\(a\)和\(b\)是正整数，且\(a^2+b^2=p\)。证明：\(ab\)是偶数。

4.证明：对于任意正整数\(n\)，方程\(x^n+y^n=z^n\)至多有一个正整数解。