1.4一元二次方程、函数和不等式的关系
考向1等式性质与不等式性质
题型1利用基本性质判断不等式对错
1．等式与不等式的性质
（1）等式基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).
（2）不等式基本性质
性质
性质内容
注意
对称性
可逆
传递性
；
同向
可加性
可逆
可乘性
；
的正负
同向可加性
同向
同向同正可乘性
同向同正
可乘方性
同正
可开方性
同正
（3）倒数性质
=1\*GB3①；=2\*GB3②；
=3\*GB3③；=4\*GB3④或．
【例1】（2024?上海），，，，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【例2】（2019?新课标Ⅱ）若a＞b，则（）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
题型2比较不等式大小关系的三种方法
1．比较大小基本方法
关系
方法
作差法与0比较
作商法与1比较
或
或
2．糖水不等式
若，，则一定有，或者．
理解：通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜．
证明：；．
【例1】已知a，b∈R，设m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，则（）
A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【例2】设a＞0，b＞0，且a≠b，则abba和aabb的大小关系是．
【例3】若P=a+a+5，Q=a+2+
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能确定
【例4】已知x＞y＞0且m＞0，则yx与y+mx+m的大小关系为
考向2一元二次方程、函数和不等式的关系
题型1一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
（1）常规一元二次不等式的解法
意味着中部分，意味着中部分，，求出两个根，；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．
（2）一元二次不等式与韦达定理
模型一已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
模型二已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
（3）一元二次不等式与判别式
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为?，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为?，则一定满足．
【例1】（2024?上海）已知，则不等式的解集为．
【例2】解关于的一元二次不等式：．
【例3】已知不等式的解集为，则不等式的解为
B．或
C． D．或
【例4】已知不等式的解集为或，则
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
题型2一元二次不等式求参
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式＝b2－4ac
0
＝0
0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c0(a0)的解集
{x|xx1，或xx2}
R
ax2＋bx＋c0(a0)的解集
{x|x1xx2}
?
?
意味着中的部分，意味着中的部分，，求出两个根，；根据图象可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．
2.一元二次不等式参数问题之定海神针
二次函数涉及参数和变量的问题，很关键的一点就是参数的位置，到底是在二次项、一次项还是在常数项？然后参数是一次出现还是多处出现，这个问题值得探讨．二次函数的定海神针主要处理对称轴是变量，区间是定区间的类型（轴动区间定），或者是对称轴不变，区间是动区间的类型（轴定区间动）．遵循对称轴从区间的左边、中间和右边的顺序进行分类讨论．
口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．
3.二次函数的参变分离
当决定抛物线开口符号的与恒成立（能成立）的符号一致时，即，此类型题目基本上都是分类讨论复杂，且注意参数此时尽量为一次，那么我们把式子的参数分离出来，转化为求对勾函数的最值问题．
【例1】已知函数．若满足：对于任意的，，，且，都有，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【例2】已知函数在上单调递增