数列第5节数列前项和
考向一公式法
1．等差数列求和公式：．
特别地，当项数为奇数时，，即前项和等于项数乘以中间项，
用此公式可以简化运算．
2．等比数列求和公式：
（1），；
（2），，特别要注意对公比的讨论．
3．常用公式
（1）平方和公式：；
（2）立方和公式：．
4．如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化为能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．
【例1】己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．
求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
考向二奇偶讨论、并项分类
题型一常规四大：类型：
1.常见模型
①通项含或或或型；
②型；
③型；
④．
2．解题策略：①并项求和：将与并项，把看作一个整体；
②分组求和．
3．注意事项：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”．
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇．若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项；若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可；
③并项后要注意新数列的项数．
【例1】已知，数列的前项和为，求数列的前项和.
【例2】已知数列满足，．
若为等差数列，求；
（2）若，求．
【例3】数列中，，为数列的前项和，求．
【例4】记为数列的前项和，若，，且，则的值为．
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【例5】已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
【例6】已知为数列的前项和，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
题型二非常规找规律型
1．隔四项出规律的递推数列——形如型
定理：若数列满足，为其前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列．
证明：，
同理．
故数列是以为首项，为公差的等差数列，此类型题可以求出通项，但花的时间太多，显然每项为一个整体操作更简单．一些数列含有周期性，需要列举几项，先发现规律后再简化要简单得多．
【例1】已知数列满足，，则数列的前项的和为（）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
2．二阶等差数列的求和公式
在数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，
即成为一个等差数列，则称数列为二阶等差数列．
记，，其通项公式为；
二阶等差数列的前项和公式为．
【例2】（2020?新课标Ⅰ文）数列满足，前项和为，则．
考向三倒序相加法
1．等差数列的前项和公式即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到个．
2．如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
【例1】求的值．
【例2】已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
考向四分段求和法
求数列的前项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
【例1】（2023?乙卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
考向五裂项相消法
1．适用于分式型，是各项不为0的等差数列；部分无理数列．
可用待定系数法对通项公式拆项，把每一项都裂成正负两项，使其正负抵消，只剩下开头和结尾的有限几项，再求和．相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
2．裂项原理：，其中．
3．裂项公式
（1）裂差型
①，；②；
③；④；
⑤，；
⑥；；
⑦，；⑧；
（3）裂和型
①，，
，，
②；
先分离，再裂项
①；②．
（4）阶乘及三角型
①；②；
③．
题型一裂差型
【例1】已知数列的前项和为，，，．
（1）求；
（2）求．
【例2】（2022?新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【例3】已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【例4】已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
题型二裂和型
【例5】设数列的前项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
【例6】（2014?山东理）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．
题型三三角型
【例7