第三节周期性与对称性
考向1函数的对称性
1函数图象自身的对称关系（可理解为奇偶函数平移后的图像）
①（“偶函数”）轴对称：若f(x+a)=f(b?x),则y=f(x)有对称轴x=a+b
②（“奇函数”）中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，
且满足条件f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(
2两个函数图象之间的对称关系
①轴对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b?x)的图象关于直线x=
特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a?x)的图象关于直x=0对称．
②中心对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c?f(b?x)的图象关于点(b?a2
特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=?f(b?x)图象关于点(b?a2
对称性两步搞定：①去常数，判断中心对称（奇函数）或轴对称（偶函数）；
②中点坐标公式，括号里面相加除2．
题型1对称性的判断
【例1】充分理解
（1）若为偶函数，则关于对称；若为奇函数，则关于对称；
（2）若为偶函数，则关于对称，则关于对称；
（3）若为奇函数，则关于对称，则关于对称；
（4）函数y=f(x+1)与y=f(3?x)
（5）写出下列式子的对称性：
①；②；③．
【例2】【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么()
A．f(2?x)=f(x) B．f(1?x)=f(1+x)
C．函数y=f(x+1)是偶函数 D．函数y=f(x?1)是偶函数
题型2对称性的应用
【例1】（2018?新课标Ⅲ）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是
A． B． C． D．
【例2】（2016?新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则
A．0 B． C． D．
考向2函数的周期性
1．定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
例如：
上图是三角函数fx
①AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；
(最小正周期T的整数倍依然是周期，如：4π也是函数的周期)
②整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).
(两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)
2．常见的结论及证明
①；②；
=3\*GB3③；=4\*GB3④；
=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；
=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧．
题型1周期性的应用
【例1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(?9
【例2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=?1f(x)
f(x)=4x，则f(107.5)=
【例3】设定义在上的函数满足，（1），则等于
A．13 B．2 C． D．
考向3对称性与周期性的综合应用
判断函数的对称性或周期性：
（1）同周异对（的符号）；
（2）知三求二（如：双对称得周期）；
（3）双对称快速得周期的方法：
①定义法：把式子统一化为的形式，再联立方程求解周期；
如：奇函数，且满足，求周期：
解：由，且，得，即．
②图像法：先标出对称中心及对称轴，如果是双轴（或双中心对称）也同理作图．
如：奇函数，且满足，求周期：
解：第一步，标出对称中心和对称轴；
第二步，穿过对称中心，画出轴对称图象；
第三步，根据对称中心，补全另一侧图象（如图原点左侧）．
第四步，得出最小正周期．
【例1】（2021?甲卷文）设是定义域为的奇函数，且．若，则
A． B． C． D．
【例2】（2021?甲卷理）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则
A． B． C． D．
【例3】（2022?乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A． B． C． D．
拓展思维
拓展1类周期函数问题
若满足：，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
【例1】（2019?新课标Ⅱ）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【例2】