第五节函数图像与零点
考向1函数图象的变换
题型1图像变换的五大模型
1．平移变换：上加下减，左加右减
关于：由的图像沿X轴方向平移
关于：由的图像形沿Y轴方向平移
2．伸缩变换：
关于：保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
关于：保持横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
3．翻转变换：
关于：保留Y轴右侧图像，再把Y轴右侧图像翻折到Y轴的左侧
关于：保留X轴上方图像，再把X轴下方图像翻折到X轴的上方
4．对称变换:
关于：由的图像作关于Y轴的对称变换得到
关于：由的图像作关于X轴的对称变换得到
关于原点：由的图像作关于原点的对称变换得到
反函数:与关于直线对称
【例1】作出下列函数的图象
；（2）；（3）；
【例2】函数的图象如图所示，那么函数的图象是
A．B． C． D．
【例3】设、分别是方程与的根，则．
题型2图像交点个数问题
【例1】函数与的图象的交点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】偶函数的图象关于对称，且当，时，，则函数的图象与
函数的图象的交点个数为
A．14 B．16 C．18 D．20
考向2函数的方程与零点
题型1零点存在性定理
一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．
相关结论:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号．
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出．
【例1】函数的零点所在区间是
A． B． C． D．
【例2】已知单调函数满足，则函数的零点所在区间为
A． B． C． D．
题型2数形结合与零点问题
【例1】（2018?新课标Ⅰ）已知函数，．若存在2个零点，
则的取值范围是（）
A．B． C． D．
【例2】函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，，，，
，，则4．
【例3】（2019?天津）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为
A．， B．， C．， D．，
题型3嵌套函数与零点问题
①先看外层零点，把外层零点一一列出：；
②再在外层函数作直线，，交点个数即为复合函数零点个数.
【例1】（多选）定义域和值域均为（常数）的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是（）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解
【例2】函数，函数的零点个数是（）
A．5 B．4 C．3 D．6
【例3】已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【例4】函数，则的实数根个数不可
能为（）
A．个 B．个 C．个 D．个
题型4零点和积范围问题
①巧用韦达定理，把，；
②巧用对数运算法则，如，一定有；
=3\*GB3③统一变量，构造函数求和积范围．
【例1】已知函数，若函数恰有三个互不相同的零点，，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【例2】已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．
【例3】【多选】已知函数，则下列结论正确的是
A．函数在，上单调递减
B．函数的值域是，
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，，，则的取值范围为
拓展思维
拓展1不动点与稳定点
不动点对于函数，我们把方程的解称为函数的不动点，即与图象交点的横坐标．
例如函数有一个不动点为，函数的不动点．有两个不动点．
稳定点对于函数，我们把方程的解称为函数的稳定点，即与图象交点的横坐标．很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点．
证明因为，所以，故也是函数的稳定点．
【例1】求函数的稳定点．
【解析】令，则，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解必有因式，可得另外两解，故函数的稳定点是，，，，其中是稳定点，但不是不动点．
由此可见，不动点是函数图象与直线的交点的横坐标，稳定点是函数图象与曲线图象交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图象与其反函数图象交点的横坐标）．
不动点定理1若函数为定义域内的单调递增函数，则有解等价于有解．
证明若无解，则必有，或恒成立，当时，因为为定义域内的单调增函数，则，显然无解；同理，可证的情况．因此，函数为定义域内的单调增函数，有解等价于有解．
【例2】（多选）