第七章立体几何第1节小题篇
考向1空间点线面的位置关系
题型1三垂线定理速证垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．
已知是平面的垂线，垂足为，是平面的斜线，斜足为，直线．
求证：（1）若，则；
若，则．
证明：（1），又，故；
（2），又，故．
【例1】如图，正长方体中，体对角线与面对角线的位置关系一定是
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
【例2】（2021?浙江）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【例3】（2024天津卷）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）
A.若，，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则与相交
【例4】（2024年甲卷）设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：
①若，则或②若，则
③若，且，则④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
题型2几何法求解距离问题
①两点间的距离：构造直角三角形，利用勾股定理处理；
②点到平面的距离：等体积法；
③直线到平面的距离：转化为求点到面的距离；
④平面到平面间的距离：转化为求点到面的距离．
注意：若二面角非直角，可以考虑用向量转化求解距离，如训练5．
【例1】在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（????）
A． B． C． D．
【例2】如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为．
??
【例3】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2 B． C． D．1
【例4】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点，求平面与平面的距离．
【例5】（2024甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到的距离.
????
题型3几何法处理夹角问题
知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
=3\*GB3③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1图2图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解