第7节抛物线
一、单项选择题
1.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上一点，若｜PF｜＝5，则点P到y轴的距离为（）
A.4B.3C.2D.1
2.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（）
A.x＋4＝0 B.x－4＝0
C.y2＝8x D.y2＝16x
3.顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程为（）
A.y2＝92
B.x2＝43
C.y2＝－92x或x2＝4
D.y2＝92x或x2＝－4
4.已知面积为3的等边△OAB（O为坐标原点）的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则p＝（）
A.36 B.32 C.23 D
5.跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图.当水面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（）
A.（0，－3） B.（0，－6）
C.（0，－12） D.（0，－24）
6.已知A（3，2），抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（）
A.32 B.5＋22
C.5＋5 D.3＋22
7.（2025·哈尔滨模拟）过抛物线y2＝2x上的一点P作圆C：（x－4）2＋y2＝1的切线，切点为A，B，则｜AB｜·｜PC｜的最小值是（）
A.4 B.26 C.6 D.42
二、多项选择题
8.（2025·南京模拟）在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点，点A（a2，1），B（a，b）（b＞0）在抛物线C上，则下列结论正确的是（
A.C的准线方程为x＝24 B.b＝
C.OA·OB＝2 D.1｜AF｜＋
9.（2024·新高考Ⅱ卷10题）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点.过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则（）
A.l与☉A相切
B.当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝15
C.当｜PB｜＝2时，PA⊥AB
D.满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个
三、填空题
10.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为.
11.已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点M在Γ上，MN⊥l，∠NFM＝30°，则点M的横坐标为.
12.（2024·上海闵行模拟）已知曲线C由抛物线x2＝4y及抛物线x2＝－4y组成，若A（4，3），B（4，－3），D，E是曲线C上关于x轴对称的两点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限，则四边形ABED周长的最小值为.
四、解答题
13.已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C2与x轴的两个交点.
（1）求抛物线C1的方程；
（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断｜MN｜是否为一定值？请证明你的结论.
14.已知椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
2
1
2
2
y
3
2
0
22
（1）求C1和C2的标准方程；
（2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求OA·OB的值.
15.〔多选〕（2025·河北联考）双曲抛物线又称马鞍面，因其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，
其标准方程为x2a2－y2b2＝2z（a＞0，b＞
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为（1，0，0）的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为（1，1，0）的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
16.应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，且∠NF2F1＝45°，tan∠NF1F2＝14，△NF1F2的面积为10，｜O1F2｜＝8，则抛