2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1.设集合，U为整数集，（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
2.若复数，则（）
A.-1 B.0· C.1 D.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
3.执行下面的程序框遇，输出的（）
A.21 B.34 C.55 D.89
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
故选：B.
4.向量，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
5.已知正项等比数列中，为前n项和，，则（）
A7 B.9 C.15 D.30
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
【答案】A
【解析】
【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，
则，
所以.
故选:.
7.“”是“”的（）
A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，是成立的必要不充分条件.
故选：B
8.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线距离，
所以弦长.
故选：D
9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）
A.120 B.60 C.40 D.30
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选：B.
10.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
11.在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，则，
又，，所以，则，
又，，所以，则，
在中，，
则由余弦定理可得，
故，则，