第三章第八节正弦和余弦定理应用举例
课下练兵场
命题报告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
测量距离问题
1、3
7、9、10
12
测量高度问题
6
测量角度问题
5
正、余定理综合
2、4
8
11
一、选择题
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()
A.akmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD.2akm
解析：
由图可知，∠ACB＝120°，
由斜弦定理
cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)
＝eq\f(a2＋a2－AB2,2a2)＝－eq\f(1,2)，
则AB＝eq\r(3)a(km).
答案：B
2.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosAsinB，则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
解析：cosA＝sin(eq\f(π,2)－A)sinB，eq\f(π,2)－A，B都是锐角，
则eq\f(π,2)－AB，A＋Beq\f(π,2)，Ceq\f(π,2).
答案：C
3.2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被
大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()
A.eq\f(20\r(6),3)米B.10eq\r(6)米C.eq\f(10\r(6),3)米D.20eq\r(2)米
解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，
则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，
∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，
∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米).
答案：A
4.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，
则该四边形的面积等于()
A.eq\r(3)B.5eq\r(3)C.6eq\r(3)D.7eq\r(3)
解析：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝30°，BD＝2eq\r(3)，
S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2×sin120°＝eq\r(3).
在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，
AB＝4，BD＝2eq\r(3)，
∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，
∴四边形ABCD的面积是5eq\r(3).
答案：B
5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定
解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋bc.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大.
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.
答案：A
6.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()
A.15米B.5米C.10米D.12米
解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，
∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h，
在△OCD中，
∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10，或h＝－5(舍).
答案：