第四章第一节平面向量的概念及其线性运算
课下练兵场
命题报告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
平面向量的有关概念
1
11
向量的线性运算
2、3
5、7
6、12
共线向量
8、9
10
一、选择题
1.已知λ∈R，则下列命题正确的是()
A.|λa|＝λ|a|B.|λa|＝|λ|aC.|λa|＝|λ||a|D.|λa|＞0
解析：当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以B不正确；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误.
答案：C
2.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝
A.B.
C.D
解析：
答案：A
3.(2009·湖南高考)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()
A.
B.
C.
D.
解析：
答案：A
4.(2010·苏州模拟)若a＋b＋c＝0，则a、b、c()
A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B.一定不可能构成三角形
C.都是非零向量时能构成三角形
D.一定可构成三角形
解析：若a、b、c均为共线向量时也可以使a＋b＋c＝0，但是无法构成三角形或者若a、b、c为两两夹角都为120°，且模相等时a＋b＋c＝0，但也无法构成三角形.
答案：A
5.已知O为△ABC内一点，且则△AOC与△ABC的面积之比是()
A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶1
解析：设AC的中心点为D
则
∴
∴
即点O为AC边上的中线BD的中点，
∴eq\f(S△AOC,S△ABC)＝eq\f(1,2).
答案：A
6.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足
则点P与△ABC的关系为()
A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点
解析：∵
∴∴
∴P是AC边的一个三等分点.
答案：D
二、填空题
7.在△ABC中，＝，＝m＋n，则eq\f(m,n)＝.
解：法一：
∴m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(2,3)，eq\f(m,n)＝eq\f(1,2)
法二：∵，∴＝2()
∴＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，得m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(2,3).∴eq\f(m,n)＝eq\f(1,2).
8.在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝(用a，b表示).
解析：由＝3(a＋b)，
即＝eq\f(3,4)(a＋b)，又∵＝a＋eq\f(1,2)b，
∴＝eq\f(3,4)(a＋b)－(a＋eq\f(1,2)b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.
答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b
9.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为.
解析：＝eq\f(1,2)()
＝eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)，
∵M、O、N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，
∴m＋n＝2.
答案：2
三、解答题
10.设i、j分别是平面直角坐示系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值.
解：＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝(5－n)i＋(－2)j.
∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，
即＝λ，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，
11.已知P为△ABC内一点，且延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量、.
解：∵
又＝0，
∴＝0，
化简，得＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b.
设＝t(t∈R)，
则＝eq\f(1,3)ta＋eq\f(5,12)tb.①
又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得
＝k(b－a).而＝＋＝a＋，
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得
代入①，有＝eq\f(4,9)a＋eq\f