一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题，则为（）
2.已知集合，则（）
【答案】C
【解析】由交集的定义可得,故选C.
【考点定位】集合交集
3.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
5.在区间上随机选取一个数，则的概率为（）
6.若圆与圆，则（）
7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）
A.B.C.D.
8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A.1B.2C.3D.4
9.若，则（）
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,
则的取值范围是（）
A.B. C.D.
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
复数（为虚数单位）的实部等于_________.
在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.
13.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.
14.平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是___________.
15.若是偶函数，则____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
16.（本小题满分12分）已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)题目已知之间的关系,令,利用,即可求的的值,令,利用与前n项和之间的关系即可得到,令检验首项即可得到的通项公式.
17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.
【答案】(1),,,,甲组优于乙组(2)
18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形中，
,
(1)求的值；
(2)求的长
(2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而,所以
,在中,,
所以.
【考点定位】正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之间的关系
20.（本小题满分13分）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.
的值,利用之间的关系即可求出的值,得到椭圆的标准方程.
21.（本小题满分13分）已知函数.
求的单调区间；
（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有.
.
【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和