阿波罗尼斯圆
韩淑勤
阿氏圆的定义：已知平面上两个定点A、B，当动点P符合到两定点的距离比值为不等
于1的定值时，点P的轨迹是个圆。
常规阿氏圆的求解方法：
例：已知?,，动点P符合到A点的距离与P到B点的距离之比为2，求
P的轨迹方程。
||
解法一：设点P（x,y），由题可知=2，
||
22
(2)+2222
即22=2，平方移项可得(+2)+=4[(?1)+]，
(1)+
2222
展开得+4+4+=4?8+4+4，
22
化简得+?4=0
22
也可写成(?2)+=4，圆心O（2,0），半径是2。
思路和方法虽然简单，但是运算量有点多，如果题中的定点或比值未知时，这个计算就
更复杂了，如果我们对这个圆的性质了解更多一些，就可以列其它方程来求解啦。
定义：反演点、反演(inversepoints;inverse)定义：是在圆或球直径上的一对点P与P′，
如果它们到中心O之距离的乘积，等于半径r的平方，则称它们互为反演点，O称为反
||||=′′
演中心，r称为反演半径。（即圆心和反演点符合：）从P变到P或从P
变到P的变换，称为反演变换，或反演映射，简称反演。
可以借助反演点的性质应用来找圆心和半径。
我们继续上面的例题，由已求出的圆心坐标O（2,0），半径为2，两定点A(?
2,0),B(1,0)可知|OA|=4，|OB|=1，r=2，符合|OA||OB|=r2，即阿氏圆中的两定点A、B
符合反演的规律。（完整证明过程先略，感兴趣可以课后联系）
阿氏圆的两个性质：
性质1.圆心O在定点A、B的延长线上k靠近P距离定点较近的那一边；eg.|PA|=2|PB|，
圆心在AB延长线靠近B点的那一端；
性质2.||||=
解法二：设圆心为D（t,0），
当P在AB线段上时，根据||=2||可知P点坐标为（0,0），所以r可表示为|DP|=t，
22
因为|DA|=t+2，|DB|=t-1，根据|DA||DB|=，得(t+2)(t-1)=，解得t=2，
所以圆心为（2,0），半径是2。
定义：调和点列
=≠0)
点在线段上且满足
1
=≠0)
点在线段的延长线上且满足
2
,,,,
则称两点为基点,点为内分点,点为外分点,构成调和点列
1212
112
性质3：调和性+=
性质4：共轭性
,,,和,,,都构成调和