概率论与数理统计（慕课版）4.1数学期望第4章数字特征与极限定理
01数学期望的定义02随机变量函数的数学期望03数学期望的性质本讲内容
问甲、乙两人谁的技术好些？301数学期望的定义甲、乙两工人用相同的设备生产同一种产品,设??例1两人各生产10组产品,每组中出现的废品件数分别记为X、Y,废品件数与相应的组数记录如下：
甲的每组平均废品数为乙的每组平均废品数为从每组的平均废品数看,乙的技术优于甲!X0123组数4321Y012组数352X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.24用分布律表示01数学期望的定义
其和为X的数学期望,记作E(X),即若无穷级数绝对收敛,则称5设X为离散型随机变量.其分布律为??定义1??数学期望的定义01数学期望的定义
即若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),6??数学期望的定义设连续型随机变量X的密度为??定义201数学期望的定义
7??前例01数学期望的定义
8X~P(λ),求E(X).??例201数学期望的定义解
01数学期望的定义解设X服从区间(a,b)上的均匀分布，求E(X).??例3X的密度函数为所以
10解求下列连续型随机变量的数学期望：??例4(1)指数分布；(2)正态分布.01数学期望的定义
11则01数学期望的定义
分布期望0-1分布pB(n,p)npP(?)?(a,b)上的均匀分布E(?)N(?,?2)12??常见分布的数学期望01数学期望的定义
柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!不是所有的随机变量都有数学期望！13??注意01数学期望的定义??例5
14??应用——平均利润问题???例6解因为X服从指数分布,故分布函数为则设备在一年内损坏的概率为01数学期望的定义为参数的指数分布,工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
Y-200100P设Y表示出售一台设备的净赢利,则分布律为厂方出售一台设备净赢利的数学期望15??售出一台设备赢利100元,调换一台设备需花费300元01数学期望的定义
16??例701数学期望的定义??应用——验血方案的选择为普查某种疾病，n个人需验血.设每人血液化验呈阳性的概率为p，且每人化验结果是相互独立的.验血方案有如下两种：(1)分别化验每个人的血样，共需化验n次；(2)分组化验：k个人的血样混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验1次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出患者,此时k个人的血需化验k+1次.试说明选择哪一方案较经济.
1701数学期望的定义所以每人平均验血次数为解令X为该人群中每个人需要的验血次数，则X的分布列为XP例如:选择方案(2)较经济
01数学期望的定义02随机变量函数的数学期望03数学期望的性质本讲内容
02随机变量函数的数学期望19假如需要计算的不是X的期刚刚我们介绍了数学期望,如果已知随机变量X的分布,我们可以求出X的期望.望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？现在提出一个问题：
(常数k0),求F的数学期望.每台仪器进货价500元,销售价1000,若卖不出去厂家设某经销商进了三台仪器,销售量X的分布律为??例8设风速V是一个随机变量,它服从(0,a)上的均??例9匀分布,而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：按200元回购,求利润Y的数学期望.02随机变量函数的数学期望20
一种方法是:因为g(X)也是随机变量,故应有概率使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分如何计算随机变量函数的数学期望?分布,它的分布可以由X的分布求出来.了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.布,一般是比较复杂的.一旦我们知道02随机变量函数的数学期望21
是否可以不求