——函数、连续函数第二章微积分的研究对象第二章微积分的研究对象
（一）教学目标??教学目标：本章的目的是介绍函数概念、初等函数、函数模型的构建和数学模型方法。要求学生理解函数的概念、掌握初等函数的定义、会构建简单的函数模型、了解数学模型方法。了解被称为数学家之英雄的欧拉的感人事迹和在数学史上的卓越贡献。第二章微积分的研究对象
（三）教学内容?§1微积分的主要研究对象——初等函数?§2MM能力培养——构建函数模型的步骤和方法?§3变量连续变化的数学模型——连续函数?数学家启示录第二章微积分的研究对象
1.1变量相依关系的数学模型
——函数??例1心理学研究表明，小学生对新概念的接受能力G（即学习兴趣、注意力、理解力的某种量度）随学习时间t的变化规律为??接受能力曲线如图2.1所示，通过函数表达式的分析和曲线的几何形态可以了解儿童的接受能力G(t)随时间t的变化规律，即接受能力何时上升、何时达到顶峰、何时下降。由此例可抽象出函数概念。第二章微积分的研究对象
?定义如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作，x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Y叫做函数的值域。函数的表示法：解析式、图象法、表格法第二章微积分的研究对象
有些函数在定义域的不同区段上由不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数定义域为R第二章微积分的研究对象
?例2在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要经济指标。?联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困，试以图像法表示国民富裕程度。第二章微积分的研究对象
解以x表恩格尔系数，对富裕程度分别适当赋值，以y表之，则国民富裕程度如图2.2所示。第二章微积分的研究对象
1.2逆向思维一例——反函数定义设函数y=f(x),如果对于Y内的任一y,X内都有唯一确定的x与之对应,使f(x)=y,则在Y上确定了一个函数,这个函数称为函数y=f(x)的反函数,记作而原来的函数y=f(x)称为直接函数.例3求函数的反函数，并在同一坐标系内作出这两个函数的图像。解因为函数在区间上单调递增，所以它存在的函数。由解得于是函数的反函数为，在同一坐标系内用描点法作出这两个函数的图像。第二章微积分的研究对象
1.3基本初等函数
1.常数函数（C为常数）定义域为(),值域为。图像为过点(0,C),且平行于x轴的直线。2幂函数(a为实数)该函数的定义域视a的不同而不同,但无论a为何值,它在区间(0,)内总有定义。a＞0和a＜0的图象如图2.3和图2.4所示第二章微积分的研究对象
3指数函数定义域为(),值域为(0,)。a1时,函数单调增加;a＜1函数单调减少。图像过点(0,1)。4对数函数,且)定义域为(),值域为()。a1时单调增加,a1时单调减少,图像过点(1,0)第二章微积分的研究对象
5三角函数正弦函数的定义域为(),值域为[-1,1]。在上单调增加,在上单调减少,它是以2为周期的周期函数。余弦函数的定义域值域和周期与正弦函数