(3)如果B是事件，A是事件，则贝叶斯公式的形式为：(4)由边缘密度的定义，还可写为下式：(5)第31页，共44页，星期日，2025年，2月5日第1页，共44页，星期日，2025年，2月5日一.事件的概率令A、B、C…表示事件，这些事件的概率是[0，1]间的实数，记为Pr[A]、Pr[B]、Pr[C]必然事件的概率是1不可能事件的概率是0对任意事件A，（对立事件）第2页，共44页，星期日，2025年，2月5日A和B同时发生的概率
如果A1，A2，…，AM是两两互斥的完备事件组，则第3页，共44页，星期日，2025年，2月5日二.?概率分布和密度函数
1.单个随机向量的分布和密度函数令X是一个随机向量，它的每一分量都是一个随机变量。令是X的一个取值，其中都是固定的实数值第4页，共44页，星期日，2025年，2月5日则事件：的概率是的函数。这个函数称为随机向量x的分布函数。定义为：第5页，共44页，星期日，2025年，2月5日由上面分布函数的定义，显然有：概率密度函数定义为分布函数对所有分量的导数：第6页，共44页，星期日，2025年，2月5日概率分布函数和密度函数之间还满足如下的积分关系：由上式和前面的式子，还有：第7页，共44页，星期日，2025年，2月5日
对于事件：有：下面看看在某一点的小邻域的概率：第8页，共44页，星期日，2025年，2月5日上式近似成立的条件是：
要充分小，以使的变化较小这意味着，在点的概率密度正比于随机向量落在附近的小邻域内的概率。密度函数越大，这个概率越大。但等于的概率为0。（连续时）容许奇异时，也有可能第9页，共44页，星期日，2025年，2月5日2.随机向量的联合分布和密度函数令X和Y是随机向量，可以把前面定义的对单个随机向量的分布和密度函数的概念推广到X和Y的联合概率分布和密度函数上去。实际上，单个随机向量是它的各个分量的联合，只要再扩展到Y就行了第10页，共44页，星期日，2025年，2月5日令是一个随机向量，，是的一个实现。则随机向量和的联合分布函数定义为联合事件[]的概率：第11页，共44页，星期日，2025年，2月5日的联合密度函数定义为：和上式的一个等价关系是：第12页，共44页，星期日，2025年，2月5日由定义，下面的等式成立：(a)(b)(c)(d)第13页，共44页，星期日，2025年，2月5日由（b），有下式：第14页，共44页，星期日，2025年，2月5日（c）和（d）意味着:x和y的概率密度可以通过对x和y的联合概率密度的积分得到：以上两式得到的称为X和Y的边缘密度函数。第15页，共44页，星期日，2025年，2月5日联合分布的随机向量x、y的另一个重要关系是：在附近，同时在附近小区域内的概率近似等于和小区域体积的积第16页，共44页，星期日，2025年，2月5日例1：一个两维随机向量和一个一维随机变量的联合密度函数：求事件的概率和边缘密度：，第17页，共44页，星期日，2025年，2月5日解：1.第18页，共44页，星期日，2025年，2月5日注意：不要忘记积分区间2.边缘密度为：第19页，共44页，星期日，2025年，2月5日在上面的计算中，要注意积分的上下限。密度函数也可以用对分布函数求导而得到第20页，共44页，星期日，2025年，2月5日3.??随机向量和事件的联合分布和密度函数一个随机向量和一个事件A的联合分布函数定义为：它是的函数第21页，共44页，星期日，2025年，2月5日联合密度函数定义为：根据定义，下面的关系成立：事件的联合概率为：第22页，共44页，星期日，2025年，2月5日如果A1，A2，…，AM是两两互斥的完备事件集，则边缘分布函数：边缘密度函数为：第23页，共44页，星期日，2025年，2月5日三.条件概率和贝叶斯规则1.事件的条件概率