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自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第五章特征值与特征向量

第五章特征值与特征向量

第01讲特征值与特征向量

本章考点

考点1特征值与特征向量的概念

设A为n阶方阵，如果存在某个数λ和某个非零向量α满足

Aα＝λα

称λ是A的一个特征值，称α是A的属于特征值λ的一个特征向量.

①求λ

Aα＝λα，因此λα-Aα＝0，因此（λE-A）α＝0

因为α非零，故（λE-A）X＝0有非零解，所以它的系数矩阵的行列式|λE-A|＝0，据此，可以解出

特征值.

②求α

λ是A的一个特征值，求α即求（λE-A）X＝0的解.

00

λE-A称为A的特征矩阵.

第1页

自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第五章特征值与特征向量

【例】

设矩阵，求A的全部特征值和特征向量.

『正确答案』

T

对于λ＝λ＝－1，求解齐次线性方程组（－E－A）x＝0，得到基础解系α＝（－1，1，0），α

1212

T

＝（－1，0，1）

从而A的属于特征值λ＝λ＝－1的全部特征向量为

12

kα＋kα，其中k，k是不全为零的任意常数

112212

T

对于λ＝5，求解齐次线性方程组（5E－A）x＝0，得到基础解系α＝（1，1，1）

33

从而A的属于特征值λ＝5的全部特征向量为kα，其中k是不为零的任意常数.

3333

【例】

（1）求a，b及ξ所对应的特征值.

（2）写出对应于这个特征值的所有特征向量.

『正确答案』

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自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第五章特征值与特征向量

设λ是ξ所对应的特征值，则Aξ＝λξ

用来求特征向量的齐次线性方程组为

TT

基础解系为（－1，－1，1），属于λ＝－1的全部特征向量为k（－1，－1，1），k为任意非零实

数.

【例】若|5E＋A|＝0，则A一定有特征值（）.

n

A.－5