第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日行波法——d’Alembert公式d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)法国著名的物理学家、数学家和天文学家，最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日一维波动方程定解问题无界弦自由振动*无界弦强迫振动半无界弦自由振动*半无界弦强迫振动三维波动方程定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形*一般情形球面平均法行波法降维法有限弦振动问题第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日§3.1一维波动方程初始位移，初始速度的无界弦自由振动初值问题(Cauchy问题)一.d’Alembert公式推导第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日我们可以求出方程的通解,考虑变量代换利用复合函数求导法则得为什么？第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日同理可得：将两式代入原方程,可得：连续积分两次得其中是任意二次连续可微函数，即有第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日注：是方程的通解,它包含两个任意函数。对无限长的自由振动,利用初始条件,则：第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日两端对x积分，可得：第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日由此即得原定解问题的解:无限长弦自由振动的达朗贝尔(d’Alembert)公式.第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日行波法小结(注：行波法仅适用于双曲型方程)3.变量替换：1.波动方程：2.特征方程与特征根：4.解方程：5.利用初始条件解F、G：第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日例1：求解无界自由振动波动方程柯西问题：解：由达朗贝尔公式：第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日例2：解定解问题:解:第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日例3：求解波动方程柯西问题解：由达朗贝尔公式：第13页，共38页，星期日，2025年，2月5日例4：求二阶线性偏微分方程初值问题的解解:先确定所给方程的特征曲线。特征方程为：或者第14页，共38页，星期日，2025年，2月5日它的两族积分曲线为做特征变换容易验证，经过变换原方程化成它的通解为第15页，共38页，星期日，2025年，2月5日其中是任意二次连续可微函数，即有把这个函数代入到条件第16页，共38页，星期日，2025年，2月5日代入到得原问题的解为：第17页，共38页，星期日，2025年，2月5日例5求二阶线性偏微分方程的通解解：特征方程为积分曲线为：第18页，共38页，星期日，2025年，2月5日经过变换原方程化成所以,令为原问题的通解，其中是任意二次连续可微函数。第19页，共38页，星期日，2025年，2月5日二.d’Alembert公式物理意义1.考虑若的图形已经给定，那么，随着时间t的推移，的图形以速度a向x轴正方向平行移动,故称齐次波动方程形如的解为右行波。2,表示一个以速度a向x轴负方向传播的行波，且传播过程中，波形也不变化。称为左行波。第20页，共38页，星期日，2025年，2月5日G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)第21页，共38页，星期日，2025年，2月5日考虑：的物理意义,如图给出的特例行波速度：弦拉的越紧,波传播速度越快;密度越小,波传播越快P9第22页，共38页，星期日，2025年，2月5日结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波速为a的波的叠加，故称为行波法。(2)只有初始速度时：(1)只有初始位移时，代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于0第23页，共38页，星期日，2025年，2月5日依赖区间三.依赖区间、决定区域和影响区域区间为解的依赖区间。u(x,t)仅仅依赖于