四、最小相位系统1.定义最小相位对象：复平面右半平面既无零点也无极点的传递函数所表示的对象。否则，称为非最小相位对象。注意：最小相位的概念是根据传递函数的零极点分布情况定义的，而不限定系统是开环还是闭环。含有延时环节的传递函数，以及包含不稳定零极点的传递函数都不是最小相位对象。第62页，共113页，星期日，2025年，2月5日2.有关结论对幅频特性相同的系统，最小相位系统的相频特性函数的绝对值是最小的，即输出正弦信号相当于输入正弦信号的相移量最小。对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。在响应开始阶段，非最小相位系统的启动性能不好，所以该系统的响应缓慢。第63页，共113页，星期日，2025年，2月5日例设有一最小相位系统，其频率特性为另有一非最小相位系统，其频率特性绘制两者的Bode图bode([11],[1001])holdonbode([-11],[1001])第64页，共113页，星期日，2025年，2月5日最小相位系统和非最小相位系统的Bode图第65页，共113页，星期日，2025年，2月5日例绘制开环传递函数为的Bode图。解系统的幅频特性和相频特性分别为可见，此系统的幅频特性与惯性环节相同，而其相频特性却比惯性环节多了一项-τω。显然，它的迟后相角增加很快。第66页，共113页，星期日，2025年，2月5日第67页，共113页，星期日，2025年，2月5日补充：根据最小相位对象的Bode图，求其传递函数第68页，共113页，星期日，2025年，2月5日Nyquist稳定判据的优点图解法、几何判据，简单、直观、计算量小（劳斯/赫尔维茨判据是代数判据）。可以不必知道系统的微分方程和传递函数，而只依靠解析法或实验法获得的开环频率特性便可应用。有助于建立相对稳定性的概念。Nyquist判据的数学基础：复变函数论中的映射定理，又称幅角定理。5.4Nyquist稳定判据第69页，共113页，星期日，2025年，2月5日一、幅角定理（映射定理）1.s平面和F(s)平面之间的映射关系设有一复变函数s为复变量，以s复平面上的s=σ+jω表示。F(s)为复变函数，记F(s)＝U+jV。假设s平面上除了有限奇点之外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数。第70页，共113页，星期日，2025年，2月5日因此，如果在s平面画一条封闭曲线Γs，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线ΓF，如下图所示s平面与F(s)平面的映射关系第71页，共113页，星期日，2025年，2月5日两点说明：若在s平面上的封闭曲线Γs是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，这取决于F(s)函数的特性;我们感兴趣的不是映射曲线ΓF的形状，而是它包围坐标原点的次数和运动方向，因为这两者与系统的稳定性密切相关（都与F(s)的相角变化有关系）。第72页，共113页，星期日，2025年，2月5日2.复变函数F(s)的相角表示及其变化复变函数F(s)的相角可表示为封闭曲线包围z1时的映射情况第73页，共113页，星期日，2025年，2月5日若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s)的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周；用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs包围了F(s)的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。第74页，共113页，星期日，2025年，2月5日3.幅角定理（映射定理）幅角定理：设s平面上的封闭曲线Γs包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线Γs顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF按逆时针方向包围坐标原点P－Z周。可见，F平面上曲线绕原点的周数和方向与s平面上封闭曲线包围F(s)的零极点数目有关。第75页，共113页，星期日，2025年，2月5日二、Nyquist稳定性判据1.辅助函数设系统的开环传递函数称如下F(s)为辅助函数第76页，共113页，星期日，2025年，2月5日辅助函数特点：辅助函数是闭环与开环特征多项式之比。F(s)的零点为系统特征方程的根（闭环极点）s1、s2、…sn，而F(s)