自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第六章实二次型
第六章实二次型
第01讲实二次型
考点1二次型概念及其对应矩阵
二次型可以表示成
T
其中A＝A为实对称矩阵，称A为二次型的矩阵.
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的关系
定义如果一个二次型只含变量的平方项，则称这个二次型为标准形.
此时二次型
此时的对应矩阵是对角矩阵.
【例】二次型对应的对称矩阵为（）．
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『正确答案』B
『答案解析』
考点2合同的概念
T
如果对于n阶矩阵A和B，存在可逆矩阵P，使得PAP＝B，则称A和B合同，记为．
【注】合同类似于相似，也具有反身性、对称性、传递性.
①相似一定等价，合同一定等价；
-1T
②若P为正交矩阵，则P＝P，此时相似即合同，
即正交相似必合同.
③二次型矩阵A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，
-1T
使得PAP＝PAP＝.
考点3求二次型的标准型
1.配方法
①若二次型含有χ的平方项，则先把含有χ的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，
ii
直到都配成平方项为止，再经过线性变换，就得到标准形.
②若二次型不含χ的平方项，只有χχ的交叉项，则利用平方差公式，做可逆线性变换χ＝y＋y，
iijiij
χ＝y-y，再按照之前含有平方项的方法处理即可.
jij
【例】用配方法化二次型
为标准形，并写出所做的可逆线性变换.
『正确答案』
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【例】求二次型的矩阵，并用配方法求二次型的标准形.
『正确答案』
2.正交变换
T
任给二次型f＝χAχ，总有正交变换χ＝Py，
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使f化为标准形
其中λλ…λ是f的矩阵A＝（a）的特征值.这种标准形为二次型的相似标准形.
12nij
【例】
设3元二次型求正交变换x＝Py，将二次型化为
标准形.
『正确答案』
二次型的矩阵