微分几何经典题目及答案
单项选择题（每题2分，共10题）
1.曲线的曲率是（）
A.切线的旋转速度B.法线的旋转速度C.副法线的旋转速度
2.曲面的第一基本形式中，\(E\)表示（）
A.\(r_{u}\cdotr_{u}\)B.\(r_{u}\cdotr_{v}\)C.\(r_{v}\cdotr_{v}\)
3.平面曲线的曲率恒为（）
A.0B.1C.任意值
4.曲线\(r(t)=(t,t^{2},t^{3})\)在\(t=1\)处的切向量是（）
A.\((1,2,3)\)B.\((1,1,1)\)C.\((2,3,4)\)
5.以下哪种曲线的挠率恒为0（）
A.空间曲线B.平面曲线C.螺旋线
6.曲面\(z=x^{2}+y^{2}\)的第二基本形式中\(L\)等于（）
A.2B.1C.0
7.曲线的密切平面由（）确定
A.切向量与副法向量B.切向量与主法向量C.主法向量与副法向量
8.曲面上一点的法向量方向是（）
A.唯一确定B.有两个相反方向C.不确定
9.曲线\(r(t)=(a\cost,a\sint,bt)\)是（）
A.平面曲线B.圆柱螺线C.抛物线
10.对于正则曲线\(r(t)\)，\(r(t)\)（）
A.恒为0B.恒不为0C.可能为0
多项选择题（每题2分，共10题）
1.以下哪些属于曲线的基本向量（）
A.切向量B.主法向量C.副法向量D.法向量
2.曲面的基本形式有（）
A.第一基本形式B.第二基本形式C.第三基本形式D.第四基本形式
3.决定曲线形状的不变量有（）
A.曲率B.挠率C.弧长D.面积
4.下列曲线中，哪些是特殊曲线（）
A.直线B.圆C.螺旋线D.抛物线
5.曲面的高斯曲率\(K\)与（）有关
A.第一基本形式B.第二基本形式C.第三基本形式D.曲线的曲率
6.曲线\(r(t)\)的弧长参数\(s\)满足（）
A.\(ds=\vertr(t)\vertdt\)B.\(s\)是\(t\)的单调递增函数C.\(s\)与曲线形状有关D.\(s\)恒为常数
7.曲面上一点的主曲率是（）
A.曲面在该点的两个特殊方向的法曲率B.与第一基本形式有关C.与第二基本形式有关D.恒为0
8.以下哪些是曲线论基本定理的要素（）
A.曲率B.挠率C.初始点D.初始切向量
9.曲面的等距变换保持（）不变
A.第一基本形式B.长度C.角度D.面积
10.曲线的密切平面的性质有（）
A.过切向量B.过主法向量C.随曲线点变化D.固定不变
判断题（每题2分，共10题）
1.所有曲线都有挠率。（）
2.曲面的第一基本形式决定了曲面上曲线的长度。（）
3.平面曲线的曲率是常数。（）
4.曲线的切向量和主法向量总是垂直的。（）
5.曲面上一点的法向量唯一确定。（）
6.高斯曲率恒为0的曲面是可展曲面。（）
7.曲线的弧长与参数选取无关。（）
8.曲面上的测地线一定是直线。（）
9.曲线的副法向量的方向总是固定的。（）
10.等距变换下，曲面的高斯曲率不变。（）
简答题（每题5分，共4题）
1.简述曲线的曲率和挠率的几何意义。
答案：曲率反映曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线弯曲得越厉害；挠率反映曲线偏离平面的程度，挠率为0时曲线是平面曲线。
2.写出曲面第一基本形式的表达式，并说明其作用。
答案：\(I=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\)，\(E=r_{u}\cdotr_{u}\)，\(F=r_{u}\cdotr_{v}\)，\(G=r_{v}\cdotr_{v}\)。作用是计算曲面上曲线长度、角度和面积等。
3.什么是正则曲线？
答案：若曲线\(r(t)\)的参数表示\(r(t)\)具有连续的一阶导数，且\(r(t)\neq0\)，则称\(r(t)\)为正则曲线。
4.简述曲面上的法曲率的概念。
答案：曲面上一点沿某一方向的法曲率，是过该点的法截线的曲率，反映曲面在该点沿特定方向的弯曲程度，与曲面的第一、第二基本形式有关