第1章线性规划与单纯形法第6节第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日例10合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套需用长为2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省。解最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。见表1-11。第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日表1-11套裁方案第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按Ⅰ方案下料的原材料根数为x1,Ⅱ方案为x2，Ⅲ方案为x3，Ⅳ方案为x4,Ⅴ方案为x5。
根据表1-11的方案，可列出以下数学模型：第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日在以上约束条件中加入人工变量x6,x7,x8；然后用表1-12进行计算。第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日第1次计算第2次计算第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日例1-11的最终计算表（第3次计算）有非基变量的检验数为零，所以存在多重最优解。第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日由计算得到最优下料方案是：按Ⅰ方案下料30根；Ⅱ方案下料10根；Ⅳ方案下料50根。即需90根原材料可以制造100套钢架。第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日
例11配料问题
某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-13和表1-14。该厂应如何安排生产，使利润收入为最大?第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日解如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A中P的成分，依次类推。见表1-13有：第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日根据表1-13有：这里AC+AP+AH=A；BC+BP+BH=B(1-40)将(1-40)逐个代入(1-39)并整理得到第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日表1-14原材料供应数量的限额表1-14表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg。由此第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日约束条件：AC+BC+DC≤100AP+BP+DP≤100AH+BH+DH≤60在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,…,x9表示。令x1=Ac,x2=Ap,x3=AH,x4=BC,x5=BP,x6=BH,x7=DC,x8=DP,x9=DH.第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日
约束条件可表示为：
第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日目标函数目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大。产品价格为：50(x1+x2+x3)——产品A35(x4+x5+x6)——产品B25(x7+x8+x9)——产品D原材料价格为：65(x1+x4+x7)——原材料C25(x2+x5+x8)——原材料P35(x3+x6+x9)——原材料H为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10～x16，得到数学模型：第15页，共32页，星期日，2025年，2月5日例11的线性规划模型第16页，共32页，星期日，2025年，2月5日最优解：这数学模型，可用单纯形法计算，经过四次迭代，获得最优解为：x1=100,x2=50,x3=50；这表示需要用原料C为100kg；P为50kg;H为50kg，构成产品A。即每天只生产产品A为200kg，分别需要用原料C为100kg；P为50kg；H为50kg。从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天。第17页，共32页，星期日，2025年，2月5日例12生产与库存的优化安排某工厂生产五种产品(i=1,…,5)，上半年各月对每种产品的最大市场需求量为dij(i=1,…,5;j=1,…,6)。已知每件产品的单件售价为Si元，生产每件产品所需要工时为ai，单件成本为Ci元；该工厂上半年各月正常生产工时为rj(j=1,…,6)，各月内允许的最