2025年统计学专业期末考试题库基础概念题详解试卷
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一、随机变量及其分布
要求：本部分考查随机变量的定义、类型以及常见随机变量的分布。
1.下列哪些是随机变量的定义特征？（）
a）确定性b）不确定性c）数值d）有度量单位
2.随机变量分为哪两类？（）
a）离散型b）连续型c）离散连续混合型d）以上都是
3.下列哪个是连续型随机变量？（）
a）掷一枚公平的硬币出现正面向上b）从一批灯泡中随机抽取一个灯泡寿命c）一次考试成绩d）任意挑选的一本书的页数
4.下列哪个是离散型随机变量？（）
a）一天中的气温b）一辆汽车的里程表显示c）随机选择一个电话号码的末四位d）一个人跑步所需的时间
5.假设某地区男性的平均身高为170cm，标准差为5cm，求身高在160cm到180cm之间的概率。（）
6.一批电子元件寿命（单位：小时）服从正态分布N（1200，400），求其中寿命超过1500小时的概率。（）
7.某班级学生身高服从正态分布，平均身高为170cm，标准差为6cm。求身高在162cm到176cm之间的学生占比。（）
8.假设一批灯泡寿命（单位：小时）服从指数分布，平均寿命为500小时。求灯泡寿命在400小时到600小时之间的概率。（）
9.某城市居民家庭年收入（单位：万元）服从正态分布，平均年收入为8万元，标准差为3万元。求年收入在5万元到11万元之间的家庭占比。（）
10.一次考试满分100分，学生成绩服从正态分布，平均成绩为75分，标准差为15分。求成绩在50分到90分之间的学生占比。（）
二、数学期望和方差
要求：本部分考查数学期望、方差的计算及性质。
1.数学期望的定义是什么？（）
2.已知随机变量X服从正态分布N（10，1），求X的数学期望E（X）。（）
3.随机变量X～N（μ，σ^2），求E（X^2）。（）
4.设随机变量X～B（n，p），求E（X）和E（X^2）。（）
5.设随机变量X～P（λ），求E（X）和E（X^2）。（）
6.设随机变量X～U（a，b），求E（X）和E（X^2）。（）
7.某批产品合格率为0.95，抽取100件产品，求抽到80件合格产品的概率。（）
8.设随机变量X～P（λ），若E（X）=5，求方差D（X）。（）
9.已知随机变量X～N（10，2^2），求E（X-5）和E（（X-5）/2）。（）
10.设随机变量X～U（2，10），求E（X）和D（X）。（）
三、随机变量函数的分布
要求：本部分考查随机变量函数的分布，包括常见函数如对数函数、指数函数等。
1.若随机变量X服从指数分布，证明Y=ln(X)服从参数为λ的对数正态分布。（）
2.已知随机变量X～N（μ，σ^2），证明Y=（X-μ）/σ服从标准正态分布。（）
3.若随机变量X～U（a，b），证明Y=e^X在（a，b）上服从均匀分布。（）
4.设随机变量X～B（n，p），证明Y=X/n服从二项分布。（）
5.设随机变量X～P（λ），证明Y=-X/λ服从参数为λ/2的泊松分布。（）
6.设随机变量X～U（0，π），求Y=cos（X）的分布。（）
7.若随机变量X～N（μ，σ^2），证明Y=ln（1+e^(X-μ)）服从对数正态分布。（）
8.设随机变量X～N（0，1），证明Y=1/X服从Cauchy分布。（）
9.若随机变量X～P（λ），证明Y=1-X/λ服从参数为λ/2的泊松分布。（）
10.设随机变量X～U（2，10），求Y=X^2的分布。（）
第三题（未完待续）
四、协方差与相关系数
要求：本部分考查协方差和相关系数的定义、计算及应用。
1.协方差的定义是什么？（）
2.若随机变量X和Y的协方差为0，则它们之间的关系是什么？（）
3.设随机变量X和Y的协方差为Cov（X，Y），求Cov（Y，X）。（）
4.下列哪个选项是协方差的性质？（）
a）Cov（X，Y）=Cov（Y，X）b）Cov（X，Y）=E[XY]-E[X]E[Y]c）Cov（X，Y）=Var（X）d）以上都是
5.已知随机变量X和Y的协方差为Cov（X，Y）=10，求Cov（2X，Y）。（）
6.设随机变量X和Y的协方差为Cov（X，Y）=5，求Cov（X+Y，Y）。（）
7.若随机变量X和Y的相关系数为ρ，求Cov（X，Y）/（σXσY）的值。（）
8.设随机变量X和Y的相关系数为ρ=0.8，求Cov（X，Y）。（）
9.若随机变量X和Y的相关系数为ρ=0.5，求Cov（X，Y）/（σXσY）的值。（）
10.设随机变量X和Y的相关系数为ρ=-0.3，求Cov（X，Y）。（）
五