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广西南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（????）
A．24 B．26 C．30 D．32
2．随机变量的分布列为
0
1
则等于（????）
A． B． C． D．
3．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（????）．
A．10 B．20 C．15 D．25
4．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（）
A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍
5．函数的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
6．直线与圆相交的充分不必要条件可以是（）
A． B． C． D．
7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（????）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
8．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（???）
A．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
B．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
C．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
D．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
10．已知无穷等差数列的前项和为，且，则（）
A．在数列中，最大 B．在数列中，最大
C． D．当时，
11．已知正项等比数列的公比为，函数，则（????）
A．当时，无极值
B．当时，的极小值点为
C．当是递增数列时，在上单调递增
D．当是递减数列时，在上单调递减
三、填空题
12．已知角的终边经过点，则.
13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为．
14．我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则
四、解答题
15．如图，直三棱柱中，，，是的中点．
??
(1)证明：直线平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，求证：．
17．已知函数
(1)当时，求函数的极值.
(2)求函数的单调区间.
18．甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
(1)若，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.
(2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？
19．在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求的最大值．
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《广西南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
A
C
C
B
BCD
AD
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案.
【详解】.
故选：B.
2．C
【分析】根据随机变量X的概率和为1求得答案.
【详解】.
故选：C
3．A
【分析】直接利用二项式系数的性质列式求得n值，利用通项即可求.
【详解】由题意可知，，解得，
的展开式的通项为，，
令，则，
所以展开式中的系数为.
故选：A
4．C
【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球