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河北省邱县第一中学2024-2025学年高一下学期4月检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（????）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数（???）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（????）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若直线平面，直线平面，则∥
C．直线与平面所成角的取值范围是
D．若直线与平面所成的角为，直线与平面内的直线所成的角为，则总有
4．在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（???）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（????）
A．锐角三角形中，若，则角取值范围为．
B．在三角形ABC中，若，则这个三角形是等腰直角三角形．
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
6．已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（???）
A． B． C． D．
7．如图，在中，与CE的交点为，则（???）
A． B． C． D．
8．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（????）
??
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的（????）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．非零复数对应的向量分别为为和，若，则
D．若，则的最小值为5
10．下列命题正确的（????）
A．已知向量，若，则等于
B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为．
C．在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时，
D．在中，，，设是的内心，若，则
11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（????）
A．球的表面积为
B．异面直线与所成角的正切值为
C．平面截球所得截面的面积为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为.
??
13．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则．
14．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为，并求出此时四边形的面积为．
四、解答题
15．已知，记在方向上的投影向量为．
(1)求的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
(3)已知，求与共线的单位向量的坐标．
16．如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点，
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
17．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
18．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.
(1)求证：;
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
19．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)当时称为调和点列，若，求值；
(3)已知，且，点为线段的中点，，，求，，
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《河北省邱县第一中学2024-2025学年高一下学期4月检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
B
C
B
B
A
ABC
BCD
题号
11
答案
AD
1．B
【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部.
【详解】由题意，得，