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湖北省汉川市第一高级中学等校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则的虚部是（???）
A．2 B． C． D．
2．已知向量，，则在方向的投影向量为（???）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（???）
A． B． C． D．2
4．在中，设，则（???）
A．3 B． C． D．
5．下列命题：
①若都是非零向量，则；
②的充要条件是且；
③为实数，若，则与共线；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在中，，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（???）
A． B．在上有3个零点
C．在上单调递减 D．函数的图象关于直线对称
8．在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（???）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（???）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．对于复数，若，则
C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根
D．复数z满足，则的最大值为
10．已知向量，则下列命题正确的是（???）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
11．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（???）
A．若，且，则为直角三角形
B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为锐角三角形
三、填空题
12．已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是．
13．先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是．
14．如图，在平面四边形中，点分别是线段的中点，为平面内一点，且，则．
??
四、解答题
15．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”．
(1)若复数，求：；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求．
16．在中，内角所对的边分别为，
(1)求B；
(2)若，求c．
17．在中，，为边上一点，与相交于点P，
(1)若，求实数的值；
(2)若，，，求的余弦值．
18．已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
19．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若，求的周长；
(3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围．
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《湖北省汉川市第一高级中学等校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
A
B
C
D
ACD
ABD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】由共轭复数和复数的乘法运算计算可得.
【详解】，故的虚部是．
故选：B
2．A
【分析】根据投影向量的定义结合向量的运算求解即可.
【详解】在方向的投影向量为.
故选：A
3．A
【分析】由正切的和差角公式展开，代入计算，即可得到结果.
【详解】由得，整理得：，
即，因为，故．
故选：A
4．C
【分析】由，得到，将用完全平方公式展开计算即得.
【详解】因为，即，
所以，
又，
可得．
故选：C
5．A
【分析】由向量的数量积的定义可判断①；由且，可得或，从而得且是的必要不充分条件，即可判断②；举反例即可判断③；由及是不共线的