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湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷（二）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．记等比数列的前项和为，若，，则（????）
A．3 B．2 C． D．
3．已知向量，满足，且，若，则（????）
A． B． C．2 D．
4．已知的展开式中的系数为126，则（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．函数在区间的零点个数为（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（????）
A． B． C． D．
7．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（????）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为，直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线、直线、直线的斜率分别为，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知三个互不相等的实数构成等差数列，将这三个数重新排列（不改变数的大小）后可以构成一个等比数列，则该等比数列的公比可能为（????）
A． B． C． D．2
10．已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（????）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
11．给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（????）
A．若数集中有2025个元素，则一定存在
B．若数集中没有最大值，则不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
三、填空题
12．复数满足，则.
13．设函数，，当曲线和恒有交点时，记实数的最大值为，最小值为，则.
14．设正四面体的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为正四面体的阶等距平面，为正四面体的阶等距集.如果为正四面体的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的平面有个；若正四面体的棱长为，则的所有可能取值构成的集合为.
四、解答题
15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求B；
(2)若，则的面积为，求，.
16．如图（一），四边形是梯形，，，，，C为线段的中点，且交于点.四边形沿翻折，如图（二）所示，线段的中点为G，M是线段上一点，且C，D，M，G四点共面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．某银行在贷款信用评估中，设定初始每个人是守信人的概率为0.5.经统计，守信人按时还款的概率是0.9，不守信人按时还款的概率是0.5.同时，银行制定了如下信用调整规则：若贷款人按时还款，下一次评估时其为守信人的概率调整为0.6；若贷款人未按时还款，下一次评估时其为守信人的概率调整为0.3.请回答以下问题：
(1)随机选取一位贷款人，求其首次贷款按时还款的概率；
(2)若某位贷款人首次贷款按时还款了，求该贷款人首次贷款时是守信人的概率；
(3)该银行对同一初始贷款人进行两次贷款评估，记两次评估中按时还款的次数为，求的分布列与数学期望.
18．已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若存在正数，且为函数大于1的零点，为函数的极值点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
19．已知双曲线的离心率为，且上的点到点的距离的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)若垂直于轴的直线与相交于A，B两点，设直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线交的右支于E，F两点，求的面积的最小值.
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《湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷（二）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
C
C
D
A
AB
BCD
题号
11
答案
AC
1．A
【分析】首先根据题意得到，，再求并集即可.
【详解】，，
所以.
故选：A
2．D
【分析】先判断公比，利用等比数列求和公式代入题设求得，即可求出.
【详解】设等比数列的公比为，若，则，故，
由可得，
化简得，