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湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数在复平面内对应点的坐标为（????）
A． B． C． D．
2．已知全集，，则集合（????）
A． B． C． D．
3．我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几何体“刍夢”中，平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，O为正方形的中心，则（????）
A．平面 B．平面 C． D．
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
5．已知，则被4除的余数为（????）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知平面向量，.若，则数列的前100项和为（????）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件：
①“”的充要条件为“”；
②；
③，都有.
则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（????）
（1）为；
（2）为；
（3）若，则为；
（4）若为，则也为（为自然对数的底数）.
A．（1）（4） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题是（????）
A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．已知，则
10．设函数，则（????）
A．当时，方程有三个实根
B．存在实数，使恒成立
C．当时，是的极大值点
D．当时，的图象关于点对称
11．有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（????）
A．点的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点到直线的距离的最大值为
三、填空题
12．已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为.
13．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则.
14．已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，过直线上一点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交轴于A，B两点，则外接圆的面积的最小值为.
四、解答题
15．某校高三年级为了让学生缓解学习压力，设计了A，B，C，D四款有趣智力游戏，每名学生每次可以从这4款游戏中等可能地选取一款，且任意两名学生的选取互不影响.
(1)若甲同学连续3次选取游戏，记甲同学选取款游戏的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)若有甲、乙、丙、丁4名学生同时选取游戏，求在恰有3名学生选取款游戏的条件下甲同学选取款游戏的概率.
16．已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
17．已知函数.
(1)当时，证明：恒成立；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
18．通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，
(1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
(2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
19．如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，.
(1)求证：点为线段的中点；
(2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面.
(3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围.
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《湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷（一）